Chưa có bài trả lời

[hoangtrong2305]

Cổng hình vòm ở Si Loius, Mo, Mỹ, nằm trong Đài tưởng niện mở Quốc gia Jefferson.

 

Hình của cái cổng có chắc chắn là hình Pararbol?

Chúng ta sẽ mô hình lại cổng vòm sử dụng một pararbol và xem cổng này có vừa với parabol không.

 

Tôi vẽ một tập các trục $x-y$ và một lưới vuông lên bức ảnh.

 

Tiếp theo, tôi xác định các giá trị của $y$ đối với $x$ từ -3 đến 3. Chúng ta có thể thấy những điểm kết quả (màu đỏ tươi) ở hình dưới đây:

Vì vậy, mục tiêu của tôi là tìm đường pararbol đi qua trục tọa độ $\left( 0,0 \right)$ và các điểm $\left( -3,-4 \right)$ và $\left( -3,4 \right)$. ( Tôi chọn cách này để đi thuận tiện).

 

Tôi biết phương trình của pararbol sẽ có dấu âm vì đồ thị bị đảo ngược (lên- xuống).

 

Tôi có thể tìm thấy phương trình cho đường pararbol này theo nhiều cách khác nhau, ví dụ như sử dụng phương trình tổng quát của một parabol:
$$y=a{{x}^{2}}+bx+c$$
Chúng ta có 3 điểm với 3 ẩn số, vì vậy chúng ta chỉ việc thay chúng vào:

 

Thay $\left( 0,0 \right)$, ta được:
$$0=0+0+c$$
Vì thế $c=0$

 

Tiếp theo, thay $\left( -3,-4 \right)$ và $\left( 3,-4 \right)$ để có hai phương trình với hai ẩn:
$$-4=9a-3b~\left( 1 \right)$$
$$-4=9a+3b~\left( 2 \right)$$
Giải $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có:
$$-8=18a$$
Vì thế
$$a=-\frac{4}{9}$$
Thay ngược lại vào $\left( 1 \right)$ hoặc $\left( 2 \right)$ ta có:
$$b=0$$
Vì thế đường pararbol chúng ta tìm có dạng là:
$$y=-\frac{4}{9}{{x}^{2}}$$
Dưới đây là đồ thị pararbol này:

Parabol này đi qua trục tọa độ và những điểm $\left( -3,-4 \right)$ và $\left( 3,-4 \right)$. Nhưng liệu hình này có phù hợp với hình cổng vòm?

 

Dưới đây là Pararbol bên cạnh những điểm chúng ta tìm thấy trên (khi $x=-3~,-2,~-1~,0~,1~,2,3$ ).

Pararbol của chúng ta không đi qua những điểm khác (đó là $x=-2,-1,1,2$).

 

So sánh pararbol của chúng ta với bưc ảnh, chúng ta có thể thấy hình dạng của vòm tròn hoàn toàn không phải thực sự là một pararbol (đặc biệt là gần mực nước ở phía dưới).

ĐƯỜNG CONG CẦN THIẾT KHÁC

 

Ero Bariren, người Phần Lan – Mĩ thiết kế cổng vòm, biết rằng một pararbol không phải là hình dáng tốt nhất cho một cái vòm .

 

Những cái vòm đã được sử dụng xuyên suốt lịch sử khi xây cầu và làm mái nhà vì chúng có khả năng hướng lực đi xuống chứ không phải đi ra ngoài, do đó làm giảm nguy cơ sập đổ.

 

Một dạng hình vòm thường được sử dụng là dây xích.

 

Dây xích là hình tạo bởi một chuỗi được treo tự do giữa hai vật đỡ.

 

DÂY XÍCH

 

Dây xích là một đường cong thú vị. Đó là mức trung bình của các giá trị y của một đường cong theo hàm số mũ giảm và một đường cong đã làm tăng.

 

Một ví dụ đơn giản là:
$$y=\frac{{{e}^{-x}}+{{e}^{x}}}{2}$$
Phần đầu của tử số, ${{e}^{-x}}$ , giảm theo hàm mũ khi $x$ tăng, trong khi phần tử thứ hai, ${{e}^{x}}$ tăng theo hàm mũ khi $x$ tăng.

 

Dưới đây là hai đường cong trên cùng một trục:

Chúng ta cộng giá trị $y$ của hai đường cong số mũ với nhau và chia cho $2$ (nói cách khác, ta cần tìm giá trị trung bình của $y$) cho ta một dây xích đơn giản (màu đen).

Bây giờ hãy so sánh hình dạng của một dây xích (màu đen) với hình dáng của một parabol (màu đỏ tươi).

Chúng ta thấy 2 đồ thị không hoàn toàn giống nhau

 

[NGOÀI LỀ] HÀM COSH

 

Có một cách khác để viết các phương trình ta đang thảo luận.
$$y=\frac{{{e}^{-x}}+{{e}^{x}}}{2}$$
Đây là ví dụ về một hàm hypebolic và bạn sẽ gặp ký hiệu cosh sau. Hàm này được gọi là “cosh” vì trong một số trường hợp hàm được dùng tương tự với hàm "cos" trong lượng giác. Từ "h" trong “ cosh” xuất phát từ "hyperbolic".

 

Chúng ta có thể viết:
$$y=\cosh x=\frac{{{e}^{-x}}+{{e}^{x}}}{2}$$
Trở lại chủ đề.

 

DÂY XÍCH PHẲNG
Bây giờ, một dây xích là hình dạng chúng ta thấy khi có một chuỗi chiều dày không đổi treo giữa 2 điểm cố định. (Từ "dây xích" cùng một từ như " chuỗi ").

 

Nhưng nếu chuỗi mỏng hơn ở giữa, chuỗi có hình dáng hơi khác (phẳng hơn). Do cổng vòm mỏng ở đầu hơn ở gần chân, các kiến trúc sư đã chọn một dây xích phẳng với phương trình có dạng:
$$y=A\frac{{{e}^{-x/B}}+{{e}^{x/B}}}{2}$$
Bây giờ, trong ví dụ này sẽ có dấu âm ở phía trước của phương trình (vì dây xích bị đảo ngược) và chúng tôi cũng sẽ cần phải thêm $A$ vào phương trình để các đường cong đi qua $\left( 0,0 \right)$ (nếu không, phương trình sẽ đi qua $\left( ~0,~-~A \right)$).
Vì vậy, chúng tôi đang tìm kiếm một phương trình có dạng sau đây đi qua $\left( -3,~-4 \right)$ và $\left( -2,~-1,42 \right)$:
$$y=A\frac{{{e}^{-x/B}}+{{e}^{x/B}}}{2}+A$$
Sử dụng máy tính, chúng ta giải hệ phương trình và có được phương trình sau:
$$y=-1.03\frac{{{e}^{-\frac{x}{1.322}}}+{{e}^{\frac{x}{1.322}}}}{2}+1.03$$
Dưới đây là đồ thị của đường cong chồng trên cổng hình vòm (màu xanh nhạt). Parabol chúng ta tìm thấy trước đó (màu đỏ sậm) dùng để so sánh. Chúng ta có thể nhìn thấy hình dây xích này đi theo hình dạng của cây cầu khá sát, đặc biệt là ở phía dưới.

LỜI KẾT
Bài viết này cho thấy vổng hình vòm không phải là một parabol. Thay vào đó, cổng có hình dạng của một dây xích phẳng, đó là hình dạng chúng ta thấy nếu chúng ta treo một chuỗi mỏng ở giữa hai điểm cố định.

 

Chúng ta cũng thấy cách mô hình hóa các đường cong để tìm ra phương trình đại diện cho đường cong.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...a-parabola-4306

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 11-01-2016 - 02:34