Cho các số dương x,y,z thỏa mãn $xyz=1$ . Chứng minh rằng:
$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} + \frac{1}{(1+z)^{2}} +\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Thanh Truong: 11-01-2016 - 19:43
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn $xyz=1$ . Chứng minh rằng:
$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} + \frac{1}{(1+z)^{2}} +\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Thanh Truong: 11-01-2016 - 19:43
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 17-01-2016 - 09:02
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $r=1$ và $(a+1)(b+1)(c+1)=p+q+2$
Do đó $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})^2-2[\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}]+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{q+2p+3}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (1+\frac{p+1}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow 1+(\frac{p+1}{p+q+2})^2-\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (p+1)^2\geqslant 2(p+q+2)\Leftrightarrow p^2\geqslant 2q+3(true)$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 19:32
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh