Chủ đề này có 2 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn  $xyz=1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} + \frac{1}{(1+z)^{2}} +\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Thanh Truong: 11-01-2016 - 19:43

[quoccuonglqd]

Đặt biểu thức vế trái là P

Tồn tại 2 trong 3 số x,y,z cùng dấu với 1,giả sử đó là x,y

$\Rightarrow xy+1\geq x+y \Rightarrow (x+1)(y+1) \geq 2(x+y)$

Sử dụng bổ đề $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}$

$P\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{1}{(xy+1)(z+1)}=\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{1}{z})(1+z)}=\frac{(z+1)^{2}}{(z+1)^{2}}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 17-01-2016 - 09:02

[KietLW9]

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $r=1$ và $(a+1)(b+1)(c+1)=p+q+2$

Do đó $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})^2-2[\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}]+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{q+2p+3}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (1+\frac{p+1}{q+p+2})^2-\frac{2(p+3)}{p+q+2}+\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow 1+(\frac{p+1}{p+q+2})^2-\frac{2}{p+q+2}\geqslant 1\Leftrightarrow (p+1)^2\geqslant 2(p+q+2)\Leftrightarrow p^2\geqslant 2q+3(true)$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 19:32