1255 replies to this topic

[dunghoiten]

Bài 87:

 

$\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}=\sqrt{(2x+\frac{y}{2})^{2}+x^{2}+\frac{7y^{2}}{4}}\geq \sqrt{(2x+\frac{y}{2})^{2}}= \left | 2x+\frac{y}{2} \right |\geq 2x+\frac{y}{2}$

 

Tương tự ta có: $\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}\geq 2y+\frac{x}{2}$

Cộng vế theo vế$\Rightarrow VT\geq VP$

Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0$ (TM)

 

Cộng 2 vế lại ra $VT \geq \dfrac{3(x+y)}{2}$ mà, sao $\geq VP$ đc?

[PlanBbyFESN]

 

Bài 87:

 

$\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}=\sqrt{(2x+\frac{y}{2})^{2}+x^{2}+\frac{7y^{2}}{4}}\geq \sqrt{(2x+\frac{y}{2})^{2}}= \left | 2x+\frac{y}{2} \right |\geq 2x+\frac{y}{2}$

 

Tương tự ta có: $\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}\geq 2y+\frac{x}{2}$

Cộng vế theo vế$\Rightarrow VT\geq VP$

Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0$ (TM)

 

 

Cộng 2 vế lại ra $VT \geq \dfrac{3(x+y)}{2}$ mà, sao $\geq VP$ đc?

Xin lỗi có chút nhầm lẫn:

 

Lại nhé: $a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$

 

$\Rightarrow 5x^{2}+2xy+2y^{2}\geq 4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x+y)^{2}\Rightarrow \sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}\geq 2x+y$

Tương tự $\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}\geq x+2y$

Cộng vế theo vế $\Rightarrow VT\geq VP$

.......

Edited by PlanBbyFESN, 22-01-2016 - 21:43.

[NTA1907]

Bài 89*: $\left\{\begin{matrix} &xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 \\ &\dfrac{xy}{1+y}+\dfrac{1}{xy+y}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

[leminhnghiatt]

Bài 86: $\sqrt{2(4x^{2}-x-6)}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$

 

$2(4x^2-x-6)=2x-3+2x^2+2x-1+2\sqrt{(2x-3)(2x-1)(x+1)}$

 

$\iff 6x^2-5x-8=2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

 

$\iff 3(2x^2-x-3)-(2x-1)-2\sqrt{(2x-1)(2x^2-x-3)}$

 

Đặt $\sqrt{2x^2-x-3}=a; \sqrt{2x-1}=b$

 

$\iff 3a^2-2ab-b^2=0$

 

$\iff (a-b)(3a+b)=0$

 

$\iff \sqrt{2x^2-x-3}=\sqrt{2x-1}$

 

Đến đây là ra kq.

[leminhnghiatt]

Bài 80: $\begin{cases} & x^{3}-y^{3}+5x^{2}+14y^{2}+97x+28y=755 \\ & (x-3)(x-4)= (y-11)(14-y) \end{cases}$

 

$\iff \begin{cases} &  x^3-y^3+5x^2+14y^2+97x+28y-755=0 \ (1) \\  &  x^2+y^2-7x-25y+166=0 \ (2) \end{cases}$

 

Lấy $PT(1)+7PT(2) \iff (x+4)^3-(y-7)^3=0$

 

$\iff x+4=y-7 \iff x=y-11$

 

Đến đây thay vào pt (2) để tìm nghiệm $x,y$

[leminhnghiatt]

Bài 89*: $\left\{\begin{matrix} &xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 \\ &\dfrac{xy}{1+y}+\dfrac{1}{xy+y}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x=0$ hoặc $y=0$ không là nghiệm của hệ.

 

$(2) \iff \dfrac{x}{\dfrac{1}{y}+1}+\dfrac{1}{y(x+1)}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{x}{y}}}{1+\sqrt{\dfrac{x}{y}}}$

 

Đặt $\dfrac{1}{y}=a$ thay vào ta có: (ĐK: $a \not = -1; x \not =-1$)

 

$\iff \dfrac{x}{a+1}+\dfrac{a}{x+1}=\dfrac{2\sqrt{xa}}{1+\sqrt{xa}}$

 

$\iff (x-a)(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{x+1})=0$

 

$\iff x=a$

 

$\iff x=\dfrac{1}{y}$

 

Thế vào (1) là ra... 

Edited by leminhnghiatt, 23-01-2016 - 13:20.

[NTA1907]

Bài 90: $x^{2}-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

Bài 91: $x^{2}+3=3\sqrt[3]{x^{3}+1}$

Bài 92: $(x^{2}+1)(x-1)+2\sqrt{5-x}+\sqrt[3]{2x-1}=5$

Bài 93*: $(9x^{2}+6x-8)\sqrt{3x+2}+6x+23=27x^{2}+3\sqrt{10+3x}$

Bài 94: $3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=10-3x$

[leminhnghiatt]

Bài 94: $3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=10-3x$

 

ĐK: $-2 \leq x \leq 2$

 

Đặt $\sqrt{x+2}=a; \sqrt{2-x}=b$ thay vào ta có:

$\iff 3a-6b+4ab=a^2+4b^2$

 

$\iff (a-2b)(a-2b-3)=0$

 

Đến đây ra rồi

[NTA1907]

Bài 89*: $\left\{\begin{matrix} &xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 \\ &\dfrac{xy}{1+y}+\dfrac{1}{xy+y}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Bài toán này mình muốn chia sẻ một cách khá hay như sau:

ĐK: $x\geq 1, y\geq 0$

Pt(2)$\Leftrightarrow \frac{y}{\frac{1}{x}+\frac{y}{x}}+\frac{\frac{1}{x}}{y+\frac{y}{x}}=\frac{2}{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}$

Đặt $\frac{1}{x}=a, y=b$

$\Rightarrow \frac{b}{a+ab}+\frac{a}{b+ab}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Ta có:

$VT=\frac{b^{2}}{ab+ab^{2}}+\frac{a^{2}}{ab+a^{2}b}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2ab(a+b+2)}=\frac{2}{\frac{2ab}{(a+b)^{2}}.(a+b+2)}=\frac{2}{\frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\frac{2ab}{a+b}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b\Rightarrow xy=1$

Đến đây thay vào pt(1) là dc

[dunghoiten]

Bài 91: $x^{2}+3=3\sqrt[3]{x^{3}+1}$

 

$\iff x^2+3=3\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$

 

$\iff (x+1)+(x^2-x+1)+1=3\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$

 

Đặt $\sqrt[3]{x+1}=a; \sqrt[3]{x^2-x+1}=b$

 

Ta có: $a^3+b^3+1=3ab$

 

$\iff (a+b)^3+1-3ab(a+b+1)=0$

 

$\iff (a+b+1)(a^2-ab+b^2-a-b+1)=0$

 

$\iff a+b+1=0$ v  $a^2-ab+b^2-a-b+1=0$

 

TH1: $a+b+1=0$ thay vào để giải tiếp.

TH2: $a^2-ab+b^2-a-b+1=0$

 

Ta có: $\Delta_a=-3(b-1)^2 \geq 0 \iff b=1$, rồi thay vào để tiếp tục tìm $a$ 

Edited by dunghoiten, 23-01-2016 - 15:05.

[leminhnghiatt]

Bài 90: $x^{2}-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

$\iff 3x^2-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^2+3}=0$

 

$\iff 3(x-1)^2+(\sqrt{3x^4+3x^2+3}-3x)=0$

 

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3x^4-6x^2+3}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

 

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3(x-1)^2(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

 

$\iff 3(x-1)^2[1+\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}]=0$

 

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

 

..

Edited by leminhnghiatt, 23-01-2016 - 15:26.

[thaibuithd2001]

$\iff 3x^2-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^2+3}=0$

 

$\iff 3(x-1)^2+(\sqrt{3x^4+3x^2+3}-3x)=0$

 

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3x^4-6x^2+3}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

 

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3(x-1)^2(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

 

 

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

 

 

mình xin trình bày cách thứ 2 =)) 

Ta viết lại phương trình như sau 

      $x^2-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$

<=>$2(x^2-x+1)-(x^2+x+1)=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$ 

Đến đây thì ta sẽ chia phương trình cho $(x^2+x+1)$ (vì biểu thức này > 0) , khi đó đặt $y=\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}$ ta thu được phương trình sau:

       $2y^2+\frac{\sqrt{3}}{3}y-1=0$ giải phương trình này nhận nghiệm $y$ > 0 ta thu đc nghiệm $y=\frac{\sqrt{3}}{3}$ từ đó giải đc $x$

Edited by thaibuithd2001, 23-01-2016 - 16:21.

[thaibuithd2001]

mình xin trình bày cách thứ 2 =)) 

Ta viết lại phương trình như sau 

      $x^2-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$

<=>$2(x^2-x+1)-(x^2+x+1)=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$ 

Đến đây thì ta sẽ chia phương trình cho $(x^2+x+1)$ (vì biểu thức này > 0) , khi đó đặt $y=\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}$ ta thu được phương trình sau:

       $2y^2+\frac{\sqrt{3}}{3}y-1=0$ giải phương trình này nhận nghiệm $y$ > 0 ta thu đc nghiệm $y=\frac{\sqrt{3}}{3}$ từ đó giải đc $x$

tiếp cách thứ 3 nhé :v 

Khi $x$ > 0 chia 2 vế phương trình cho $x$ ta có: $x-3+\frac{1}{x}=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^2+1+\frac{1}{x^2}}$

Đặt $z=x+\frac{1}{x}$ $\geq$ 2 ta được: $z-3=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{z^2-1}$

Khi $x$ < 0 làm tương tự ta cũng đc:  $z-3=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{z^2-1}$

Edited by thaibuithd2001, 23-01-2016 - 16:29.

[nguyenthitram]

(1) $\iff (x-y-2)(x^2-7x+xy+y^2-5y+18)=0$

 

$\iff y=x-2$  v  $x^2-7x+xy+y^2-5y+18=0 \ (*)$

 

Dễ dàng cm (*) vô nghiệm vì $\Delta_x=-3(y-1)^2-20 < 0$

 

Với $y=x-2$ thay vào (2) ta có: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$ (ĐK: $-2 \leq x \leq \dfrac{22}{3}$)

 

$\iff 3x^2+24-12\sqrt{x+2}-3\sqrt{22-3x}=0$

 

$\iff 3(x^2-x-2)+(4x+16-12\sqrt{x+2})+(-x+14-3\sqrt{22-3x})=0$

 

$\iff (x^2-x-2)(3+\dfrac{16}{4x+16+12\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{-x+14+3\sqrt{22-3x}})=0$

 

$\iff x=2$  v  $x=-1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

 

$\iff y=0$  v  $y=-3$

của lớp 9 phải k ạ

[meomunsociu]

Bài 92: $(x^{2}+1)(x-1)+2\sqrt{5-x}+\sqrt[3]{2x-1}=5$ (1)

 

ĐKXĐ: $x\leq 5$

(1) $\Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)+(2\sqrt{5-x}-4)+(\sqrt[3]{2x-1}-1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)+\frac{4(1-x)}{2\sqrt{5-x}+4}+\frac{2(x-1)}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1}=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+1-\frac{4}{2\sqrt{5-x}+4}+\frac{2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1})=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(\frac{2x^2\sqrt{5-x}+4x^2+2\sqrt{5-x}}{2\sqrt{5-x}+4}+\frac{2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1})=0$

Dễ thấy phần trong ngoặc luôn dương nên suy ra $x=1$ $(TM)$

Vậy pt đã cho có nghiệm là $x=1$

Edited by meomunsociu, 23-01-2016 - 16:52.

[thaibuithd2001]

Xin góp vài bài =)) 

95.$\sqrt{x+5+\frac{12}{x-1}}=\frac{2(x+2)^{2}+11}{5x-3}$

96.$(2x^2-4x+1)\sqrt{2x-1}=4x^2-7x+3$

97.$7x^2-13x+8=2x^2\sqrt[3]{x(1+3x-3x^3)}$

Edited by thaibuithd2001, 23-01-2016 - 18:09.

[Kira Tatsuya]

Xin góp vài bài =)) 

96.$(2x^2-4x+1)\sqrt{2x-1}=4x^2-7x+3$

 

$\Leftrightarrow (2(x-1)^2-1)\sqrt{2x-1}=4(x-1)^2+(x-1)$

Đặt $x-1=a;\sqrt{2x-1}=b$

$\Rightarrow (2a^2-1).b=4a^2+a;\\ (2b^2-1).a=(4x-3)(x-1)=4x^2-7x+3=4a^2+a\\ \Rightarrow 2b^2a-a-2a^2b+b=0\Leftrightarrow (b-a)(2ab+1)=0$

đến đây dễ rồi 

[gianglqd]

Bài 98: $2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy$

Bài 99: $x^{2}-3x+\dfrac{13}{2}= \sqrt{(x^{2}-2x+2)(x^{2}-4x+5)}+2x$

Bài 100:$\dfrac{x-3x^{2}}{2}+\sqrt{2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3}=2$

[Kira Tatsuya]

Bài 98: $2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy$

 

98 giải hệ hay pt ???

[haichau0401]

Bài 98: $2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy$

Chộp luôn bài 98 nhá 

Nhìn dạng này là chỉ nghĩ đến dùng bđt thôi!

TH1: Ta xét với $x=0,y=0$ (cái này mời mọi người xét)

TH2: Nếu x,y khác 0 thì ta có:

$pt\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{y-1}}{y}+\frac{4\sqrt{x-1}}{x}=3$ (chia 2 vế cho $xy$)

Mà:

$\frac{2\sqrt{y-1}}{y}=\frac{2\sqrt{y-1}}{y-1+1}\leq 1$

$\frac{4\sqrt{x-1}}{x-1+1}\leq 2$

$\Rightarrow VT\leq 3$

Đến đây mình lại mời mọi người xử lý ạ