1255 replies to this topic

[PlanBbyFESN]

$PT(1) \iff (\sqrt{x^2y+2}-x+1)(\sqrt{x^2y+2}-x-1)=0$

$\iff x^2y=x^2-2x-1 \ (*)$   v    $x^2y=x^2+2x-1 \ (**)$

$PT(2) \iff x^6y^3-y^3+3x^2y-6y+3y^2+4=0$

$\iff x^6y^3+3x^2y=y^3-3y^2+6y-4$

$\iff (x^2y)^3+3x^2y=(y^3-3y^2+3y-1)+3(y-1)$

$\iff (x^2y)^3+3x^2y=(y-1)^3+3(y-1)$

Xét: $x^2y > y-1 \iff VT > VP$

Xét $x^2y < y-1 \iff VT<VP$

$\iff x^2y=y-1$

Với $x^2y=x^2-2x-1 \longrightarrow x^2-2x=y$,thay vào (*)

 

Ta có: $x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$ (PT đối xứng bậc 4)

 

Với $x^2y=x^2+2x-1 \longrightarrow x^2+2x=y$, thay vào (**)

 

Ta có: $x^4+2x^3-x^2-2x+1=0$ (PT bậc 4 đối xứng)

 

Gần như hoàn chỉnh nhưng 2 phương trình cuối phải phân tích ra chứ nhầm chỗ đối xứng, hệ số bằng nhau mới đối xứng, còn đây chú ý là 2 khác -2 @!

 

Ta có phân tích sau:

 

$x^4-2x^3-x^2+2x+1=0\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)^{2}=0$

 

và:

 

$x^4+2x^3-x^2-2x+1=0\Leftrightarrow (x^{2}+x-1)^{2}=0$

...................................

Edited by PlanBbyFESN, 13-02-2016 - 12:23.

[Nguyen Van Luc]

ai làm giúp câu hệ này với

 $\left\{\begin{matrix} \ x-2y+1=\sqrt{\frac{2y^2+xy+5}{x^2+1}+3} & \\x^3+(y-3)x^2+(1-y)x-2y^2+y-8=0 & \end{matrix}\right.$

thanks nhiều nhé  

[lebaominh95199]

Bài 201 nè, mình thấy bài này cũng khá dễ.

ĐKXĐ:$x\leq \frac{2}{3}$

$PT\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{27}+(\frac{2-3x^{2}}{3})^{2}-\frac{25}{81}+\sqrt{2-3x}-1=0\Leftrightarrow (x-\frac{1}{3})((x+\frac{1}{3})(x^{2}-\frac{8}{9})-\frac{3}{\sqrt{2-3x}+1})=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

(vì theo ĐKXĐ thì $x\leq \frac{2}{3}$ nên hạng tử phía sau luôn nhỏ hơn 0)

Edited by lebaominh95199, 13-02-2016 - 16:14.

[gianglqd]

ai làm giúp câu hệ này với

 $\left\{\begin{matrix} \ x-2y+1=\sqrt{\frac{2y^2+xy+5}{x^2+1}+3} & \\x^3+(y-3)x^2+(1-y)x-2y^2+y-8=0 & \end{matrix}\right.$

thanks nhiều nhé

Xem bài của bạn Nguyen Van Luc là 209

Bài 209: $\left\{\begin{matrix} \ x-2y+1=\sqrt{\dfrac{2y^2+xy+5}{x^2+1}+3} & \\x^3+(y-3)x^2+(1-y)x-2y^2+y-8=0 & \end{matrix}\right.$

Bài 210: $(x+2)\left (\sqrt{2x^{2}+4x+6}+\sqrt{-2x-1} \right )=2x^{2}+6x+7$

[royal1534]

 

Bài 210: $(x+2)\left (\sqrt{2x^{2}+4x+6}+\sqrt{-2x-1} \right )=2x^{2}+6x+7$

ĐK:$x \leq \frac{1}{2}$

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có:

$PT \leftrightarrow (x+2)\frac{2x^2+6x+7}{\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1}}=2x^2+6x+7$

     $\leftrightarrow x+2+\sqrt{-2x-1}=\sqrt{2(x^2+2x+3)}$

Đặt $x+2=a,\sqrt{-2x-1}=b$ 

$PT \leftrightarrow a+b=\sqrt{2(a^2+b^2)}  $

     $\leftrightarrow a=b$

Ok !.................

P/s:Happy lunar new year

Edited by royal1534, 13-02-2016 - 21:19.

[baotranthaithuy]

 

 $\left\{\begin{matrix} \ x-2y+1=\sqrt{\dfrac{2y^2+xy+5}{x^2+1}+3} & \\x^3+(y-3)x^2+(1-y)x-2y^2+y-8=0 & \end{matrix}\right.$

 

Xét pt (2):  $x^3+(y-3)x^2+(1-y)x-2y^2+y-8=0$

 

$\iff x^3+yx^2-3x^2+x-xy-2y^2+y-8=0$
 

$\iff x(x^2+1)+y(x^2+1)-3(x^2+1)-2y^2-5-xy=0$

 

$\iff (x^2+1)(x+y-3)=2y^2+5+xy$

 

$\iff \dfrac{2y^2+5+xy}{x^2+1}=x+y-3$

 

Thay vào pt(1), ta có: $x-2y+1=\sqrt{x+y}$
 

Đến đây không biết sao nữa  ....

Edited by baotranthaithuy, 13-02-2016 - 22:24.

[ineX]

Mình thấy thi đại học đa phần những bài phương trình hệ phương trình sẽ rất lằng nhằng, đánh đố và hầu như chỉ có một, hai phương pháp giải quyết

Đóng góp một bài trong số đó

 

                  

Attached Images

• 

[royal1534]

Mình thấy thi đại học đa phần những bài phương trình hệ phương trình sẽ rất lằng nhằng, đánh đố và hầu như chỉ có một, hai phương pháp giải quyết

Đóng góp một bài trong số đó

ĐK:$x \geq 1$

Hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}  (x+2)(x-y^2+1)+\sqrt{(x+1)(y^2+1)}=2y^2+3 & \\ 5y^2+22=3\sqrt{x^2+8y^2}+\frac{18x}{x+\sqrt{x^2-1}}\end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{x+1}=a,\sqrt{y^2+1}=b$

PT(1) $\Leftrightarrow (a^2+1)(a^2+1-b^2)+ab=2b^2+1$

      $\Leftrightarrow a^4+2a^2-b^2a^2-3b^2+ab=0$

      $\Leftrightarrow (a-b)(a^3+a^2b+2a+3b)=0$

$\Leftrightarrow a=b$ (Vì $a>0$ và $b>0$ nên vế sau dương)

$\Leftrightarrow x+1=y^2+1$

$\Leftrightarrow x=y^2$

Thay vào phương trình 2 ta có

$5x+22=3\sqrt{x^2+8x}+18x^2-18x\sqrt{x^2-1}$

$\Leftrightarrow 10x+44=2\sqrt{9x(x+8)}+36x^2-36x\sqrt{x^2-1}$

$\Leftrightarrow (10x+8-2\sqrt{9x(x+8)})=36(x^2-x\sqrt{x^2-1}-1)$

$\Leftrightarrow (3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})^2=36(x^2-x\sqrt{x^2-1}-1) $

$\Rightarrow x^2-x\sqrt{x^2-1}-1 \geq 0$ (1)

Lưu ý vì điều kiện là $x \geq 1$ nên: 

$x^2-1-x\sqrt{x^2-1} \leq x^2-1-x^2+1=0$ (2)

$(1)(2) \Rightarrow 3\sqrt{x}-\sqrt{x+8}=0$ và $x^2-x\sqrt{x^2-1}-1=0$

Đến đây thì ngon lành rồi ..................................

Edited by royal1534, 13-02-2016 - 23:56.

[NTA1907]

Bài 212: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+(2y-1)(x-y)}+\sqrt{xy}=2y \\ &x(2x+2y-5)+y(y-3)+3=0 \end{matrix}\right.$

Bài 213: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ &xy+yz+2zx=-1 \end{matrix}\right.$

Bài 214: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3 \\ &y^{2}-2xy+2x=-4 \end{matrix}\right.$

[Royal Sky]

Bài 215: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}+xy=y^{2}-3y+2 & \\ &x^{2}-y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

[Kira Tatsuya]

Bài 214: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3 \\ &y^{2}-2xy+2x=-4 \end{matrix}\right.$

$5.(1)-3.(2)$, ta được :

$5x^2-8y^2+6xy-16x+10y+3=0\\\Leftrightarrow (5x-4y-1)(x+2y-3)=0$

đến đây thế vào giải pt bậc 2 

[haichau0401]

Bài 215: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}+xy=y^{2}-3y+2 & \\ &x^{2}-y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}2x^2+xy=y^2-3y+2 & & \\ x^2=3+y^2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 2(3+y^2)+xy=y^2-3y+2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy=-y^2-3y-4 & & \\ x^2=3+y^2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\dfrac{-y^2-3y-4}{y}& & \\ x^2=3+y^2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (\frac{-y^2-3y-4}{y})^2=3+y^2\Leftrightarrow 6y^3+14y^2+24y+16=0$

$\Leftrightarrow y=-1$

p/s: Vì $y=0$ không là nghiệm!

Edited by haichau0401, 14-02-2016 - 10:23.

[Kira Tatsuya]

Bài 215: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}+xy=y^{2}-3y+2 & \\ &x^{2}-y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

$2x^2-y^2+xy+3y-2=0\Leftrightarrow (2x-y+2)(x+y-1)=0$

đến đây dễ rồi

[PlanBbyFESN]

Bài 213: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ &xy+yz+2zx=-1 \end{matrix}\right.$

 

Bài 213:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow y^{2}+(z+x)^{2}=2zx+1$              (1)

 

$xy+yz+2zx=-1\Rightarrow 2zx+1=-y(x+z)$                                      (2)

 

$(1);(2)\Rightarrow y^{2}+(x+z)^{2}=-y(x+z)\Leftrightarrow y^{2}+(x+z)^{2}+y(x+z)=0\Leftrightarrow (y+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}z)^{2}+\frac{3}{4}(x+z)^{2}=0$

 

Mà  $VT\geq VP\Rightarrow ...................$

 

...................................

[haichau0401]

Bài 212: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+(2y-1)(x-y)}+\sqrt{xy}=2y \\ &x(2x+2y-5)+y(y-3)+3=0 \end{matrix}\right.$

Bài 213: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ &xy+yz+2zx=-1 \end{matrix}\right.$

Bài 214: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3 \\ &y^{2}-2xy+2x=-4 \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 213:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow y^{2}+(z+x)^{2}=2zx+1$              (1)

 

$xy+yz+2zx=-1\Rightarrow 2zx+1=-y(x+z)$                                      (2)

 

$(1);(2)\Rightarrow y^{2}+(x+z)^{2}=-y(x+z)\Leftrightarrow y^{2}+(x+z)^{2}+y(x+z)=0\Leftrightarrow (y+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}z)^{2}+\frac{3}{4}(x+z)^{2}=0$

 

Mà  $VT\geq VP\Rightarrow ...................$

 

...................................

Bài 213:

Bài này mik có một cách khác như sau:

Ta có:

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1-1+xy+yz=y(x+z)$

Đặt $x+z=a$, $y=b$ khi đó ta được:

$(a+b)^2=ab\Leftrightarrow a^2+ab+b^2=0$

 

p/s: Rất mong các bạn đăng bài để ý đến STT bài đế đánh số đúng làm cho topic có tính thẩm mỹ nhé. Xin cảm ơn!   

[gianglqd]

Bài 216: $\begin{cases} & 2x+3y=x^{2}+3xy+y^{2} \\ & x^{2}+2y^{2}= x+2y \end{cases}$

Bài 217: $\begin{cases} & 3x^{3}+2y^{2}+3y+3=0 \\ & 3y^{3}+2z^{2}+3z+3=0 \\ & 3z^{3}+2x^{2}+3x+3=0 \end{cases}$

Bài 218: $\begin{cases} & \dfrac{y^{3}+y}{3}=\dfrac{x^{3}+x-1}{3}+x^{2}+x+1 \\ & \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{y}=\sqrt{2-y}-1 \end{cases}$

Bài 219: $\begin{cases} & \sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}=\dfrac{7}{2+\sqrt{xy}} \\ & x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}= 7 \end{cases}$

Bài 220: $\begin{cases} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9 \\ & \left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right )\left (\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1 \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}+1 \right )= 18 \end{cases}$

Edited by gianglqd, 14-02-2016 - 19:27.

[PlanBbyFESN]

Bài 216: $\begin{cases} & 2x+3y=x^{2}+3xy+y^{2} \\ & x^{2}+2y^{2}= x+2y \end{cases}$

 

Bài 216:

 

$\begin{cases} & 2x+3y=x^{2}+3xy+y^{2} \\ & x^{2}+2y^{2}= x+2y \end{cases}$

 

$\Rightarrow (2x+3y)(x^{2}+2y^{2})=(x^{2}+3xy+y^{2})(x+2y)$

 

$\Rightarrow 2x^{3}+4xy^{2}+3x^{2}y+6y^{3}=x^{3}+5x^{2}y+7xy^{2}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}-3xy^{2}-2x^{2}y+4y^{3}=0$

 

$x^{3}-3xy^{2}-2x^{2}y+4y^{3}=0\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}-xy-4y^{2})=0$

 

•  $x=y$ ......

 

• $x^{2}-xy-4y^{2}=0$  Đẳng cấp bậc 2................................ 

[PlanBbyFESN]

Bài 218: $\begin{cases} & \dfrac{y^{3}+y}{3}=\dfrac{x^{3}+x-1}{3}+x^{2}+x+1 \\ & \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{y}=\sqrt{2-y}-1 \end{cases}$

 

 

Bài 218:

 

$\frac{y^{3}+y}{3}=\frac{x^{3}+x-1}{3}+x^{2}+x+1 \Rightarrow y^{3}+y=x^{3}+x+1+3x^{2}+3x+3$

 

$y^{3}+y=x^{3}+x+1+3x^{2}+3x+3\Rightarrow y^{3}+y=(x+1)^{3}+(x+1)$

 

$\Rightarrow y=x+1$  .............................

Edited by PlanBbyFESN, 14-02-2016 - 16:53.

[leminhnghiatt]

Bài 220: $\begin{cases} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9 \\ & \left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right )\left (\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1 \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}+1 \right )= 18 \end{cases}$

 

ĐK: $x; \not = 0$

 

Đặt $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=a; \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}=b$ thay vào ta có:

 

$\iff \begin{cases} &  a^3+b^3=9 \\ &  (a+b)(a+1)(b+1)=18 \end{cases}$

 

$\iff \begin{cases} &  (a+b)^3-3ab(a+b)=9 \\ &  (a+b)ab+(a+b)^2+(a+b)=18 \end{cases}$

 

Đặt $a+b=u; ab=v$

 

$\iff \begin{cases} &  u^3-3uv=9 \ (1)  \\ &  3uv+3u^2+3u-54=0 \ (2) \end{cases}$

 

(1) $\iff 3uv=u^3-9$ thế vào (2) đc:

 

$u^3+3u^2+3u-63=0$

 

$\iff (u-3)(u^2+6u+21)=0$

 

$\iff u=3$

 

$\iff a+b=3$

 

Xong thế vào (1) để tìm $ab$

[Royal Sky]

Bài 221:

$\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}+y^{2})=15 & & \\ (x^{2}-y^{2})(x-y)=3 & & \end{matrix}\right.$

Edited by Royal Sky, 14-02-2016 - 16:53.