1255 replies to this topic

[PlanBbyFESN]

Bài 283: $\begin{cases} & \sqrt{x^{2}+2x+22}-\sqrt{y}= y^{2}+2y+1 \\ & \sqrt{y^{2}+2y+22}-\sqrt{y}= x^{2}+2x+1 \end{cases}$

 

Bài 283: 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(y+1)^{2} & \\ \sqrt{(y+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{(y+1)^{2}+21}=(y+1)^{2}-(x+1)^{2}$

 

Hàm đồng biến:

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}+(x+1)^{2}=\sqrt{(y+1)^{2}+21}+(y+1)^{2}\Rightarrow x=y$

............................

[PlanBbyFESN]

 

Bài 285: $\begin{cases} & 4x^{3}-12x^{2}+15x-7=(y+1)\sqrt{2y-1} \\ & 6(x-2)y-x+26=6\sqrt[3]{16x+24y-28} \end{cases}$

 

 

Bài 285:

 

$4x^{3}-12x^{2}+15x-7=(y+1)\sqrt{2y-1}\Leftrightarrow 8x^{3}-24x^{2}+30x-14=(2y+2)\sqrt{2y-1}$

 

$\Leftrightarrow 8x^{3}-24x^{2}+24x-8+6x-6=(2y-1)\sqrt{2y-1}+3\sqrt{2y-1}\Leftrightarrow (2x-2)^{3}+3(2x-2)=\left (\sqrt{2y-1} \right )^{3}+3\sqrt{2y-1}$

 

Hàm đồng biến : $\Rightarrow 2x-2=\sqrt{2y-1}$

 

Thay vào PT 2 ta có PT sau:

 

$6(x-1)^{3}-6(x-1)^{2}+x+10=3\sqrt[3]{16(x-1)+48(x-1)^{2}}$

 

$6t^{3}-6t^{2}+t+11=3\sqrt[3]{16t+48t^{2}}$

 

Áp dụng BĐT AM-GM:

 

$3\sqrt[3]{16t+48t^{2}}=3\sqrt[3]{(t+3t^{2}).4.4}\leq 3t^{2}+t+8\Rightarrow 6t^{3}-6t^{2}+t+11\leq 3t^{2}+t+8\Leftrightarrow 2t^{3}-3t^{2}+1=0\Leftrightarrow (t-1)(2t^{2}-t-1)\leq 0\Leftrightarrow (t-1)^{2}(2t+1)\leq 0$      $(1)$

 

Mặt khác:

 

$t=(x-1)=\frac{\sqrt{2y-1}}{2}\geq 0\Rightarrow (1)\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=\frac{5}{2} & \end{matrix}\right.$                          (TM)

..............................

 

 

 

 

Edited by PlanBbyFESN, 28-02-2016 - 15:13.

[gianglqd]

Bài 283: 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(y+1)^{2} & \\ \sqrt{(y+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{(y+1)^{2}+21}=(y+1)^{2}-(x+1)^{2}$

 

Hàm đồng biến:

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}+(x+1)^{2}=\sqrt{(y+1)^{2}+21}+(y+1)^{2}\Rightarrow x=y$

............................

Thử thế $x=y$ rồi giải ra nghiệm luôn đi em phần sau không hề dễ như em nghĩ đâu 

[PlanBbyFESN]

Thử thế $x=y$ rồi giải ra nghiệm luôn đi em phần sau không hề dễ như em nghĩ đâu 

 

Bài 283: 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(y+1)^{2} & \\ \sqrt{(y+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{(y+1)^{2}+21}=(y+1)^{2}-(x+1)^{2}$

 

Hàm đồng biến:

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}+(x+1)^{2}=\sqrt{(y+1)^{2}+21}+(y+1)^{2}\Rightarrow x=y$

............................

 

Em chưa nghĩ đến, nhưng giờ nghĩ thì đúng là dễ thật:

 

$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên ngoặc vuông hiển nhiên $<0$

 

$\Rightarrow x=y=1$

.............................

[leminhnghiatt]

$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên ngoặc vuông hiển nhiên $<0$

 

$\Rightarrow x=y=1$

.............................

 

 

Đúng là phần trong ngoặc luôn nhỏ hơn 0 nếu bấm máy tính, nhưng nhìn vào dấu trừ ngổn ngang vậy làm sao ai biết được nó nhỏ hơn 0 nhỉ? Mình nên đưa nó về một biểu thức dễ nhìn hơn  

Edited by leminhnghiatt, 29-02-2016 - 17:50.

[gianglqd]

Em chưa nghĩ đến, nhưng giờ nghĩ thì đúng là dễ thật:

 

$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên ngoặc vuông hiển nhiên $<0$

 

$\Rightarrow x=y=1$

.............................

Chưa ổn chút nào

Lập luận thế này được không:

Phần trong ngoặc vuông là $A$

$A=[(x+3)\left ( \dfrac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-1 \right )-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}]$

Vì ĐKXĐ nên $\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5> 1\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-1< 0\Rightarrow (x+3)\left ( \dfrac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-1 \right )< 0$

$\Rightarrow A<0$

Edited by gianglqd, 28-02-2016 - 19:33.

[PlanBbyFESN]

Đúng là phần trong ngoặc luôn nhỏ hơn 0 nếu bấm máy tính, nhưng nhìn vào dấu trừ ngổn ngang vậy làm sao ai biết được nó nhỏ hơn 0 nhỉ? Mình nên đưa nó về một biểu thức dễ nhìn hơn

 

Chưa ổn chút nào

 

Có vậy cũng không hiểu , trình bày sạch đẹp đây:

 

 

Bài 283: 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(y+1)^{2} & \\ \sqrt{(y+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{(y+1)^{2}+21}=(y+1)^{2}-(x+1)^{2}$

 

Hàm đồng biến:

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}+(x+1)^{2}=\sqrt{(y+1)^{2}+21}+(y+1)^{2}\Rightarrow x=y$

 

 

 

$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}>\sqrt{\left (x+1 \right )^{2}}> x\Rightarrow \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}< \frac{x+3}{x+5}< 1\Rightarrow \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-3< 0$

 

$-x-\frac{1}{\sqrt{x}+1}< 0$

 

$\Rightarrow \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1}< 0$

 

$\Rightarrow x=1\Rightarrow x=y=1$                   (TM)

 

............................

[gianglqd]

Có vậy cũng không hiểu , trình bày sạch đẹp đây:

 

 

Bài 283: 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(y+1)^{2} & \\ \sqrt{(y+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{(y+1)^{2}+21}=(y+1)^{2}-(x+1)^{2}$

 

Hàm đồng biến:

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}+(x+1)^{2}=\sqrt{(y+1)^{2}+21}+(y+1)^{2}\Rightarrow x=y$

 

 

 

$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}>\sqrt{\left (x+1 \right )^{2}}> x\Rightarrow \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}< \frac{x+3}{x+5}< 1\Rightarrow \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-3< 0$

 

$-x-\frac{1}{\sqrt{x}+1}< 0$

 

$\Rightarrow \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1}< 0$

 

$\Rightarrow x=1\Rightarrow x=y=1$                   (TM)

 

............................

giờ mới để ý anh post nhầm đề rồi đề đúng phải như vầy:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{(x+1)^{2}+21}-\sqrt{y}=(y+1)^{2} & \\ \sqrt{(y+1)^{2}+21}-\sqrt{x}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.$

Tuy vậy cứ cộng chéo rồi SD hàm số ta vẫn chứng minh được $x=y$ 

Thật lòng sorry mọi người

P/s: PlanBbyFESN em tên thật là gì cho mọi người cùng biết để tiện xưng hô 

[Nguyen Duc Phu]

Bài 286: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$ Nghiệm là $x=\sqrt{2}$

[gianglqd]

Bài 287: $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{y^{2}+2015})(y+\sqrt{x^{2}+2015})=2015 & & \\ x+y+\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7} & & \end{matrix}\right.$ (Math Hero)

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Edited by gianglqd, 28-02-2016 - 19:50.

[leminhnghiatt]

Bài 286: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$ Nghiệm là $x=\sqrt{2}$

ĐK: $x^2 \geq 1$

 

Ta có:

 

$x(1+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}})=2\sqrt{2}$

 

$\rightarrow x >0$

 

$\iff x-\sqrt{2}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\sqrt{2}=0$

 

$\iff \dfrac{x^2-2}{x+\sqrt{2}}-\dfrac{x^2-2}{(x+\sqrt{2(x^2-1)})\sqrt{x^2-1}}=0$

 

$\iff x^2-2=0$   v    $\dfrac{1}{x+\sqrt{2}}-\dfrac{1}{(x+\sqrt{2(x^2-1)})\sqrt{x^2-1}}=0$

 

(2) $\iff x+\sqrt{2}=x\sqrt{x^2-1}+(x^2-1)\sqrt{2}$

 

$\iff x(\sqrt{x^2-1}-1)+\sqrt{2}(x^2-2)=0$

 

$\iff \dfrac{x(x^2-2)}{x^2+2}+(x^2-2)\sqrt{2}=0$

 

$\iff (x^2-2)(\dfrac{x}{x^2+2}+\sqrt{2})=0$

 

$\iff x^2-2=0$

 

$\iff x=\sqrt{2}$ ($x >0$)

Edited by leminhnghiatt, 28-02-2016 - 20:06.

[gianglqd]

Bài 286: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$ Nghiệm là $x=\sqrt{2}$

Thử thay dấu trừ trong căn thành dấu cộng

Bài 289: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{2}\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

[ineX]

Bài 277:

$ \left\{\begin{matrix} 2z(x+y)+1=x^{2}-y^{2} \\ y^{2}+z^{2}=1+2xy+2zx-2yz \\ y(3x^{2}-1)=-2x(x^{2}+1) \end{matrix}\right. $

(Chọn đội tuyển trường THPT chuyên KHTN)

cho hỏi đề năm bao nhiêu đây vậy

[Quoc Tuan Qbdh]

Thử thay dấu trừ trong căn thành dấu cộng

Bài 289: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{2}\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

Từ phương trình ta có :

$x=\frac{\sqrt{2}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})}{1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}}>0$

Phương trình tương đương

$(x-\sqrt{2})+(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-\sqrt{\frac{2}{3}})=0$

$<=>(x-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}x-\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1}}=0$

$<=>(x-\sqrt{2})+\frac{x^{2}-2}{(\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{3}x+\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1})}=0$

$<=>(x-\sqrt{2})(1+\frac{x+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{3}x+\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1})}=0$

$<=>x=\sqrt{2}$ ( vì $x>0$ nên phần trong ngoặc $>0$ )

Edited by Quoc Tuan Qbdh, 28-02-2016 - 21:07.

[anhquannbk]

cho hỏi đề năm bao nhiêu đây vậy

2010-2011 bạn

[ineX]

Lời giải cho 277

Attached Images

• 
• 

[gianglqd]

Từ phương trình ta có :

$x=\frac{\sqrt{2}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})}{1+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}}>0$

Phương trình tương đương

$(x-\sqrt{2})+(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-\sqrt{\frac{2}{3}})=0$

$<=>(x-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}x-\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1}}=0$

$<=>(x-\sqrt{2})+\frac{x^{2}-2}{(\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{3}x+\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1})}=0$

$<=>(x-\sqrt{2})(1+\frac{x+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}.\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{3}x+\sqrt{2}.\sqrt{x^{2}+1})}=0$

$<=>x=\sqrt{2}$ ( vì $x>0$ nên phần trong ngoặc $>0$ )

Mình có cách này:

Xét hàm số $f(x)=x+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

Khi đó $f'(x)=1+\dfrac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}> 0\forall x$

Vậy đây là hàm đồng biến

Ta thấy $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\left ( 1+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right )$

Vậy PT có nghiệm duy nhất là $\sqrt{2}$

Edited by gianglqd, 29-02-2016 - 14:47.

[gianglqd]

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 291: $\begin{cases} & 2x^{3}+3x^{2}-18=y^{3}+y \\ & 2y^{3}+3y^{2}-18=z^{3}+z\\ & 2z^{3}+3z^{2}-18=x^{3}+x \end{cases}$

Bài 292: $\begin{cases} & y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ & 4xy^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}=2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \end{cases}$

Bài 293: $\begin{cases} & \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3 \\ & \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 \end{cases}$

[gianglqd]

Bài 294: $16x^{4}-4x^{2}+6x+27=12\sqrt[3]{2x+9}$

Bài 295: $2a^{3}-(2a^{2}-3a+1)\sqrt{a^{2}-2a}-4a^{2}-a+3=0$

[leminhnghiatt]

Bài 294: $16x^{4}-4x^{2}+6x+27=12\sqrt[3]{2x+9}$ 

$VT=(16x^{4}-16x^{2}+4)+(12x^{2}+6x+23)\\=4(2x^{2}-1)^{2}+(x+3)^{2}+11x^{2}+14> 0$

$\Rightarrow VP> 0\Rightarrow 2x+9> 0$

Đến đây dùng Cauchy

$VP=12\sqrt[3]{2x+9}=3\sqrt[3]{8.8.(2x+9)}\leq 2x+25$

 

 Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$VT\geq 2x+25\\\Leftrightarrow 16x^{4}-4x^{2}+6x+27\geq 2x+25\\\Leftrightarrow 16x^{4}-4x^{2}+4x+2\geq 0\\\Leftrightarrow (4x^{2}-1)^{2}+(2x+1)^{2}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{-1}{2}$

 

PT có nghiệm duy nhất $x=\frac{-1}{2}$

 

Đã được giải bởi bạn phamngochung9a

Edited by leminhnghiatt, 29-02-2016 - 15:27.