Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3
Chứng minh rằng :
a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
b) $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc \geq 13$
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3
Chứng minh rằng :
a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
b) $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc \geq 13$
Những kẻ không biết tự tin vào chính bản thân của mình đều là những kẻ không đủ tư cách nói đến hai chữ nỗ lực
a) Được đăng tại: http://diendantoanho...c-aca-bleq-abc/
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Những kẻ không biết tự tin vào chính bản thân của mình đều là những kẻ không đủ tư cách nói đến hai chữ nỗ lực
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Xét (a-1),(b-1),(c-1), giả sử
(a-1)(b-1) >=0
<=> ab >= a+b-1
Thay c=3 - b-a , ta dc
VT BDT >= (a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 + 13 >= 13
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=1
Giả sử a là cạnh lớn nhất trong tam giác thì b + c > a (theo bất đẳng thức tam giác) $\Rightarrow 2a<a+b+c=3\Rightarrow a<\frac{3}{2}$
Từ đó ta có: $a,b,c<\frac{3}{2}$ suy ra $\frac{3}{2}-a,\frac{3}{2}-b,\frac{3}{2}-c>0$
Áp dụng Cô-si cho 3 số dương: $(\frac{3}{2}-a)+(\frac{3}{2}-b)+(\frac{3}{2}-c)\geqslant 3\sqrt[3]{(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)} $
$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\geqslant(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\geqslant \frac{-27}{8}+\frac{3}{2}(ab+bc+ca)-abc\Leftrightarrow 4abc\geqslant -14+6(ab+bc+ca) \Leftrightarrow 3(a+b+c)^2+4abc\geqslant 13+6(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geqslant 13$ (Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh