Chủ đề này có 2 trả lời

[xxthieuongxx]

Chứng minh: $1\leq x,y,z\leq 2$ thì:

  $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z)\leq 10$

[I Love MC]

Giả sử $2 \ge z \ge y \ge x$ suy ra $\frac{x}{y} \ge \frac{1}{2}$  
Xét $(1-\frac{x}{y})(0,5-\frac{x}{y}) \le 0$  
$\Rightarrow 1+\frac{x^2}{y^2} \le \frac{x}{y}.2,5 \leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \le 2,5$  
Xét $(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})+(1-\frac{y}{x})(1-\frac{z}{y}) \ge 0$ 
Suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} \le 2+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} \le 2+2,5=4,5$ 
$VT=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+\frac{x}{z}+\frac{z}{x} \le 3+4,5+2,5=10$ (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,2)$ và các hoán vị 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 16-01-2016 - 16:25

[I Love MC]

Cách khác : Biến đổi tuơng đương  
Giả sử $1 \le x \le y \le z \le 2$ nên $2 \le 2x \le 2y \le 2z$ do đó $x \le z \le 2 \le 2x \le 2z$
Xét $(x+y+z)(xy+yz+xz)-10xyz=(x+z)(y-x)(y-z)+y(2x-z)(x-2z) \le 0$ 
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,2)$ và các hoán vị