Chủ đề này có 223 trả lời

[cristianoronaldo]

Bài 102:

Với các số thực dương a,b,c,d 

Chứng minh rằng:

$P= \frac{a}{b^{2}+c^{2}+d^{2}}+\frac{b}{c^{2}+d^{2}+a^{2}}+\frac{c}{d^{2}+a^{2}+b^{2}}+\frac{d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{a+b+c+d}{4}$

Mình xin chứng minh tại đây luôn (sau khi chữa đề) :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum a)(\sum \frac{a}{a^2+b^2+c^2})\geq (\sum \sqrt{\frac{a^2}{d^2+b^2+c^2}})$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\sqrt{\frac{b^2+c^2+d^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2(b^2+c^2+d^2)}{a^4}}\leq \frac{\sum a^2}{2a^2}$

Tương tự rồi cộng theo vế ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 14-06-2016 - 22:01

[tritanngo99]

Bài 103: Xét các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2\le 3y$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$

[cristianoronaldo]

Ta có:

$a^2+b^2+c^2-2a-4b-2c+6=(a-1)^2+(b-2)^2+(c-1)^2\geq 0$

$\Rightarrow 3b-2a-4b-2c+6\geq 0\Leftrightarrow 2a+b+2c\leq 6$

Mặt khác ta có:

P$\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\geq \frac{8.8}{(a+\frac{b}{2}+c+5)^2}\geq 1$

Vậy min P là 1

[AnhTran2911]

cho a,b.c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3

CMR : $\frac{1}{ab^2+8}+\frac{1}{bc^2+8}+\frac{1}{ca^2+8}\geq \frac{1}{3}$

P/s: Điều chúng ta cần bàn ở đây chính là một lời giải không dùng khai triển. Mong mọi người có lời giải sớm nhất có thể.

Xin chân thành cám ơn.