Chủ đề này có 223 trả lời

[royal1534]

 

 

Bài 26: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. CMR:

$xy+yz+xz\geq \frac{18xyz}{2+xyz}$

Theo bđt AM-GM:ta có  $(xy+yz+zx)(x+y+z) \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9xyz$

$\rightarrow xy+yz+zx \geq 9xyz $

Ta cần chứng minh $9xyz \geq \frac{18xyz}{2+xyz}$

$\leftrightarrow 1 \geq \frac{2}{2+xyz}$

$\leftrightarrow 2+xyz \geq 2$ 

$\leftrightarrow xyz \geq 0$ :Đúng

Vì $x,y,z>0$ nên dấu '=' không xảy ra   
Bài toán tiếp theo:

Bài 28:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sqrt{4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 15:38

[hoctrocuaHolmes]

$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}=\frac{a^{2}}{a^{3}+abc}=\frac{a}{a^{2}+bc}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ca}{2abc}=\frac{ab+bc+ca}{2}.$ . em mới tham gia forum có gì chỉ bảo thêm.. 

Cảm ơn bạn,lời giải của bạn đúng rồi,chỉ đơn giản là áp dụng bài toán cũ là xong Mời bạn có thể giải quyết tiếp những vấn đề còn lại tụi mình nêu ra ở trên.

Bài toán này theo mình có thể tổng quát lên như sau:

Cho $a_{1};a_{2};...;a_{n}>0;a_{1}.a_{2}...a_{n}=1$.Chứng minh:$\sum \frac{a_{1}^{2}}{a_{1}^{3}+1}\leq \frac{\sum a_{1}a_{2}}{2}$ với cm tương tự,không cần đưa ra cm đâu nhé

Các bạn thử suy nghĩ xem bất đẳng thức chặt hơn sau có đúng không   (nếu đúng hãy chứng minh )

Bài 29:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:34

[I Love MC]

Cảm ơn bạn,lời giải của bạn đúng rồi,chỉ đơn giản là áp dụng bài toán cũ là xong Mời bạn có thể giải quyết tiếp những vấn đề còn lại tụi mình nêu ra ở trên.

Bài toán này theo mình có thể tổng quát lên như sau:

Cho $a_{1};a_{2};...;a_{n}>0;a_{1}.a_{2}...a_{n}=1$.Chứng minh:$\sum \frac{a_{1}^{2}}{a_{1}^{3}+1}\leq \frac{\sum a_{1}a_{2}}{2}$ với cm tương tự,không cần đưa ra cm đâu nhé

Các bạn thử suy nghĩ xem bất đẳng thức chặt hơn sau có đúng không   (nếu đúng hãy chứng minh )

Bài 29:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh:$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{3}{2}$

Gợi ý : Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ 
Từ đó ta có bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge a+b+c$ 
Mạnh hơn với $n \in \mathbb{N}$ thì $\sum a^{n+1} \ge \sum a^n$

[hoilamchi]

Gợi ý : Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ 
Từ đó ta có bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge a+b+c$ 
Mạnh hơn với $n \in \mathbb{N}$ thì $\sum a^{n+1} \ge \sum a^n$

Bạn full hoàn toàn hộ được không,có vẻ hơi mơ hồ 

[hoilamchi]

Bài 28:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sqrt{4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)}$

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 22:57

[hoctrocuaHolmes]

$\frac{a^{2}}{a^{3}+1}=\frac{a^{2}}{a^{3}+abc}=\frac{a}{a^{2}+bc}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{3}+1}+\frac{b^{2}}{b^{3}+1}+\frac{c^{2}}{c^{3}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ca}{2abc}=\frac{ab+bc+ca}{2}.$ . em mới tham gia forum có gì chỉ bảo thêm..Bài 27 Cho a,b,c >0 và a+b+c =3 Chứng minh: $\frac{1}{a+3b} + \frac{1}{b+3c} + \frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{a+3} + \frac{1}{b+3} + \frac{1}{c+3}$

Bdt cần cm tương đương với $\frac{1}{a+3b} + \frac{1}{b+3c} + \frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{2b+c+a} + \frac{1}{2c+a+b}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $\frac{1}{a+3b} +\frac{1}{2c+b+a}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$

Bất đẳng thức này sẽ khó hơn khi bài cho như sau:

Bài 32:Cho   $a\geq b\geq c> 0$.  Chứng minh

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+2b}+\frac{1}{2b+2c}+\frac{1}{2c+2a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:35

[ineX]

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$

nhận thấy vế trái của bất đẳng thức này khá là dễ chứng minh:

nhân $2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

sau đó triệt tiêu đi ta được:

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+8xy \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 20:13
Sửa lại lỗi Latex

[ineX]

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$

vế phải bất đẳng thức 31 cũng tương tự, nhân $2(x+y)$ vào cả hai vế và khai triển ta được :

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+(x^{2}+y^{2})+2xy \geq 0$

có lẽ đề phải là cho x,y là số thực

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-02-2016 - 20:14

[hoilamchi]

nhận thấy vế trái của bất đẳng thức này khá là dễ chứng minh:

nhân $2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

sau đó triệt tiêu đi ta được:

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+8xy \geq 0$

 

vế phải bất đẳng thức 31 cũng tương tự, nhân $2(x+y)$ vào cả hai vế và khai triển ta được :

$(x+y-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})^{2}+(x^{2}+y^{2})+2xy \geq 0$

có lẽ đề phải là cho x,y là số thực

Bản chất của bài này là biến đổi tương đương,không biết bạn biến đổi đúng chưa nhưng hướng giải vậy là đúng rồi 

Bạn làm nốt bài kia đi để đăng bài mới 

[hoctrocuaHolmes]

Bài 33: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=a+b+c+2$.Chứng minh:$\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}+\frac{1}{\sqrt[n]{c}}>2$

Bài 34: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{c+b})\geq \frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Bài 35: Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$A=\frac{20a^2}{a-1}+\frac{12b^{2}}{b-1}+\frac{2014c^2}{c-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:34

[tpdtthltvp]

Bài 35: Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$A=\frac{20a^2}{a-1}+\frac{12b^{2}}{b-1}+\frac{2014c^2}{c-1}$

$A=\frac{20(a^2-1)+20}{a-1}+\frac{12(b^2-1)+12}{b-1}+\frac{2014(c^2-1)+2014}{c-1}$

$A=20(a+1)+12(b+1)+2014(c+1)+\frac{20}{a-1}+\frac{12}{b-1}+\frac{2014}{c-1}$

$A=[20(a-1)+\frac{20}{a-1}]+[12(b-1)+\frac{12}{b-1}]+[2014(c-1)+\frac{2014}{c-1}]+4092$

$A\geq 40+24+4028+4092=8184$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 06-02-2016 - 21:36

[mam1101]

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 10:11

[tpdtthltvp]

$A=\frac{20(a^2-1)+20}{a-1}+\frac{12(b^2-1)+12}{b-1}+\frac{2014(c^2-1)+2014}{c-1}$

$A=20(a+1)+12(b+1)+2014(c+1)+\frac{20}{a-1}+\frac{12}{b-1}+\frac{2014}{c-1}$

$A=[20(a-1)+\frac{20}{a-1}]+[12(b-1)+\frac{12}{b-1}]+[2014(c-1)+\frac{2014}{c-1}]+4092$

$A\geq 40+24+4028+4092=8184$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$.

Em quên chưa đăng bài! Híc... Giờ đăng bù!

Bài 37: Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$. CMR:

$$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$$

[hoilamchi]

Em quên chưa đăng bài! Híc... Giờ đăng bù!

Bài 37: Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$. CMR:

$$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$$

Áp dụng AM-GM

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})=3-\sum \frac{2ab^2}{a+2b^2}\geq 3-\sum \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}=3-\frac{2}{3}\sum \sqrt[3]{a^2b^2}$

Lại có $3\sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leq \sum (ab+ab+1)=2(ab+bc+ac)+3\leq 9$ ( do $ab+bc+ac\leq 3$ cm bằng Bunhia)

Suy ra đpcm

DBXR khi $a=b=c=1$

Bài 38: Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:

                        $1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 16:34

[hoilamchi]

 

Bài 33: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=a+b+c+2$.Chứng minh:$\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}+\frac{1}{\sqrt[n]{c}}>2$

Bài 34: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{c+b})\geq \frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Bài 35: Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$A=\frac{20a^2}{a-1}+\frac{12b^{2}}{b-1}+\frac{2014c^2}{c-1}$

Tổng quát bài 35:Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$B=\frac{ma^2}{a-1}+\frac{nb^{2}}{b-1}+\frac{pc^2}{c-1}$ ($m,n,p$ là các số cho trước)

[PlanBbyFESN]

Bài 38: Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:

                        $1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$

 

Bài 38:

 

$1+\frac{3}{a+b+c}\geq 2\sqrt{\frac{3}{a+b+c}}=2\sqrt{\frac{9}{3abc(a+b+c)}}\geq 2\sqrt{\frac{9}{(ab+bc+ca)^{2}}}=\frac{6}{ab+bc+ca}$

[hoilamchi]

Bài này chặt hơn Mincopxki

Sd pp bình phương chuyển vế,bdt đã cho được viết lại dưới dạng

$\sum \sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq (a+b+c)^{2}$

Thật vậy,áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có

$\sqrt{(a^2+b^2+ab)(a^2+c^2+ac)}\geq a^2+\frac{a(b+c)}{2}+bc$

Tương tự cộng vế với vế ta có đpcm

DBXR khi $a=b=c$

Bài 30: Cho $x,y>0$.CMR:$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(y+3x)}{16(x+y)^{3}}$

Bài 31: Cho $x,y>0$.CMR:$x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^2+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\leq x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}$

Bài 30 chỉ đơn giản là biến đổi tương đương,mọi người khỏi làm bài này cũng được hơi ''tay chân'' 1 tí

Làm bài này đi

Bài 39:Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = xyz$. Chứng minh rằng:  

                        $xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 07-02-2016 - 17:54

[ineX]

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$

 

 

Bài 39:Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x + y + z = xyz$. Chứng minh rằng:  

                        $xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}$

 

Bài 33: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=a+b+c+2$.Chứng minh:$\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}+\frac{1}{\sqrt[n]{c}}>2$

Bài 34: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{c+b})\geq \frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}

 

 

 

Nốt nào các bạn

[12345678987654321123456789]

 

 

Tổng quát bài 35:Cho $a,b,c>1$.Tìm Min:$B=\frac{ma^2}{a-1}+\frac{nb^{2}}{b-1}+\frac{pc^2}{c-1}$ ($m,n,p$ là các số cho trước)

 

$a-1\leq \frac{a^2}{4}$

$\frac{m^2a^2}{a-1}\geq \frac{ma^2}{\frac{a^2}{4}}=4m$

$B\geq 4(m+n+p)$

Dấu  "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2$

[quanganhthanhhoa]

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$

$\sum \frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} =\sum \frac{a^3}{b^{6} + c^{6} + a^3} \leq \sum \frac{a^{3}}{bc(b^4+c^4)+a^4bc}=\sum \frac{a^{3}}{\frac{b^4+c^4}{a}+a^3}=\sum \frac{a^{4}}{a^4+b^4+c^4}=1$

DBXR khi $a=b=c=1$

Bài 40: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\sqrt{\frac{2x}{y}}(2xy-1)=2xy+1$.Tìm Min:$2x+\frac{1}{y}$

Bài 41: Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $(a+b)(c+d)\geq 4abcd$.Chứng minh $\frac{1}{ab(c+1)}+\frac{1}{bc(d+1)}+\frac{1}{cd(a+1)}+\frac{1}{ad(b+1)}\geq \frac{32}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$