Bài 6: Cho $a,b,c>0$
CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]
Bài 6: Cho $a,b,c>0$
CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]
Bài 14: Áp dụng Bunhiacopxki ta có
$(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}).(\sqrt{a.(b+c)}+\sqrt{b.(c+a)}+\sqrt{c.(a+b)})\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$
Mặt khác $(\sqrt{a.(b+c)}+\sqrt{b.(c+a)}+\sqrt{c.(a+b)})= \frac{\sqrt{2}}{4}.(2.\sqrt{2a.(b+c)}+2.\sqrt{2b.(c+a)}+2.\sqrt{2c.(a+b)})\leq \frac{\sqrt{2}}{4}.(2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b)$ (Bất đẳng thức Cosi) $\sqrt{2}(a+b+c)$
=> $P\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{2}.(a+b+c)}+\frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$
$P= \frac{a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}}{\sqrt{2}(a+b+c)}+ \frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+ \sqrt{2}.(\frac{(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{a+b+c})$
Áp dụng AM-GM => $P\geq \frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}.2=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:29
Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$
P/s: các bạn chú ý a,b,c chưa > 0 nha!!!
Bài 20: Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=3\sqrt{2}$
Tìm min: $P= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:42
Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc
Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp
Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{2p}{r}}$
-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-01-2016 - 22:53
Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$
P/s: các bạn chú ý a,b,c chưa > 0 nha!!!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[4\sum \frac{ab}{3+c^2} \leqslant \sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2} \leqslant \sum \left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )=3.\]
Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$
CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$
Ta có: Áp dung bđt AM-GM:
$\frac{ab}{3+c^{2}}=\frac{ab}{3-a^{2}+3-b^{2}}\leq \frac{ab}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}$
$\Rightarrow \frac{ab}{3+c^{2}}\leq \frac{\left | ab \right |}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{3-b^{2}}+\frac{b^{2}}{3-a^{2}})=\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})$
Tương tự:
$\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b^{2}}{b^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+a^{2}})$
$\frac{ca}{3+b^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{c^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}})$
Cộng vế theo vế suy ra đpcm.
Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$Bài 12: $a,b,c\geq 0; a+b+c=1$
CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geq \frac{1}{4}$
Bài 20: Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=3\sqrt{2}$
Tìm min: $P= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-01-2016 - 22:02
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 18-01-2016 - 22:28
Bài 21: Cho a,b,c>0.
CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Bài 22: Cho $X,Y>0$
CM: $X^{Y} + Y^{X}> 1$
Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc
Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp
Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{p}{r}}$
-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được
mình không thạo loại này @
Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]
Nếu giải được bằng S.O.S (bài gốc) rồi thì đăng giúp mình cái, mình vẫn còn chưa vững về S.O.S (lời giải kỹ tí nhé mang tính chất tham khảo 1 bài thôi chứ topic này không đi sâu vào cái này)
Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc
Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp
Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{p}{r}}$
-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được
Gọi $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC,$ ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R,\,R = \frac{abc}{4S},\,r = \frac{S}{p}$ và $p = \frac{a+b+c}{2}$ nên bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2abc}}.\] Bất đẳng thức này sai với $a=\frac{343}{38},\,b=\frac{39}{38},\,c=10.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-01-2016 - 22:30
Bài 21: Cho a,b,c>0.
CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Bài 22: Cho $X,Y>0$
CM: $X^{Y} + Y^{X}> 1$
bài 21 anh huyện hình như có đăng mở rộng bài ni nè em đọc rồi zô vấn đề
a^2+b^2+c^2+2abc+1 theo nguyên lí đirecle thì (a-1)(b-1)>=0 mà a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+abc+1=(a-b)^2+(c-1)^2+3c(a-1)(b-1)>=0 rồi dpcm
Bài 21:
Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.
$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$
Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$
Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$
Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~
Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )
Continue...:
Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Gọi $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC,$ ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R,\,R = \frac{abc}{4S},\,r = \frac{S}{p}$ và $p = \frac{a+b+c}{2}$ nên bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2abc}}.\] Bất đẳng thức này sai với $a=\frac{343}{38},\,b=\frac{39}{38},\,c=10.$
Đã edit !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 18-01-2016 - 23:15
Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc
Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp
Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{2p}{r}}$
-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được
Lập luận tương tự như trên ta đưa bài toán về chứng minh \[\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \leqslant a+b+c.\] Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.
23/Bài 21:
Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.
$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$
Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$
Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$
Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~
Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )
Continue...:
Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-01-2016 - 18:04
Bài 21:
Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.
$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$
Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$
Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$
Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~
Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )
Continue...:
Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Bài 23:
Từ giả thiết:
$\Rightarrow 0<a,b,c<\sqrt{3}$
Xét bài toán nhỏ với $0<x<\sqrt{3}$
Ta luôn có :
$2x+\frac{1}{x}\geq 3+\frac{1}{2}(x^{2}-1)$
$\Leftrightarrow \frac{(2-x)(x-1)^{2}}{x}\geq 0$
Hiển nhiên đúng.
Thay vào bài toán ta có ngay Pmin=9 khi a=b=c=1.
--------------------------------
23/
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$.Từ giả thiết $=>p^2-2q=3$
Giả sử $P\geqslant 9$
BĐT$<=>p^2-4pr-18r-3\geqslant 0<=> r\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $r\geqslant \frac{p(4p-q^2)}{9}=\frac{p(p^2-6)}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương: $\frac{p(p^2-6)}{9}\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
$<=>(p-3)(4p^3-6p^2-33p+9)\geqslant 0$
Điều này luôn đúng vì $0<p\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
Suy ra đpcm.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
p,q,r ứng dụng hay mà ở THCS còn hạn chế lắm...
-----------------------------
Bài 13: Cho $a,b,c>0$
CM: $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$
Giải:
$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}\Leftrightarrow (1+abc)\sum \frac{1}{a(1+b)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+ca+c}{c(1+a)}\geq 6\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a} \right ]\geq 6$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
---------------------------
Bài 24: Cho $x,y,z>0$
CM: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz+8\geq 5(a+b+c)$
Bài 25: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác :
CM: $\sum \frac{a}{b+c}<2$
Bài 25: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác :CM: $\sum \frac{a}{b+c}<2$
$b+c>a \Leftrightarrow a(b+c)>a^2 \Leftrightarrow 2a(b+c)>a(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 21-01-2016 - 23:54
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh