Đến nội dung


Hình ảnh

Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 239 trả lời

#221 Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\star \int_{CQT}^{12T}\star$

Đã gửi 02-05-2017 - 11:41

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{9}{4}$$


$\mathbb{VTL}$


#222 Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\star \int_{CQT}^{12T}\star$

Đã gửi 02-05-2017 - 23:40

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c= 1. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\leq \frac{1}{6\left ( ab+bc+ca \right )}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 02-05-2017 - 23:42

$\mathbb{VTL}$


#223 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 10-05-2017 - 20:59

Mọi người làm hộ mk bài này với...cảm ơn nhiều  :)

Cho a, b, c và a + b + c $\leq$ 1

CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{82}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 10-05-2017 - 21:09

Alpha $\alpha$ 


#224 tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:$\color{red}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{Mathematics} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 10-05-2017 - 21:57

Mọi người làm hộ mk bài này với...cảm ơn nhiều  :)

Cho a, b, c và a + b + c $\leq$ 1

CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$\sqrt{(1^2+9^2)(a^2+\frac{1}{a^2})}\geq a+\frac{9}{a}\rightarrow a^2+\frac{1}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(a+\frac{9}{a})$

CMTT $\rightarrow b^2+\frac{1}{b^2}\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(b+\frac{9}{b});c^2+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(c+\frac{9}{c})$

$\rightarrow VT\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(a+b+c+\frac{9}{a}+\frac{9}{b}+\frac{9}{c})=\frac{1}{\sqrt{82}}[(81a+\frac{9}{a})+(81b+\frac{9}{b})+(81c+\frac{9}{c})-80(a+b+c)]$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có

$81a+\frac{9}{a}\geq 54;81b+\frac{9}{b}\geq 54;81c+\frac{9}{c}\geq 54$

$\rightarrow VT\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(54+54+54-80)= \sqrt{82}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 10-05-2017 - 22:00


#225 canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Toán học và Vật lí

Đã gửi 14-05-2017 - 21:23

help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee !!!

tìm min: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ 

với 0 < x < 1


Alpha $\alpha$ 


#226 manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phan Đăng Lưu-Yên Thành-Nghệ An
  • Sở thích:GÁI

Đã gửi 16-05-2017 - 23:32

help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee !!!

tìm min: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ 

với 0 < x < 1

Áp dụng BĐT Bunyacovski:

$y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq \frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{1-x+x}=(\sqrt{2}+1)^{2}$

Dấu "=": $x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#227 Doflamingo

Doflamingo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết

Đã gửi 18-05-2017 - 11:48

1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:

$\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}+\frac{ab}{c(1+ab)}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}$

 

2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

Tìm GTLN của P= $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+a+c}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}$

 

3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.

Tìm GTLN của Q= $2\sqrt{abc}\left ( \frac{1}{\sqrt{3a^{2}+4b^{2}+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^{2}+4c^{2}+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^{2}+4a^{2}+5}} \right )$

 

4,Cho a,b,c>0.

Tìm GTNN của P=$ \frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}$



#228 trinhhoangdung123456

trinhhoangdung123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Đã gửi 14-07-2017 - 19:10

    Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x.y.z= 1. Chứng minh rằng:

           $\ \frac{x^{2}y^{2}}{2x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{2y^{2}+z^{2}+3y^{2}z^{2}}+\frac{z^{2}x^{2}}{2z^{2}+x^{2}+3z^{2}x^{2}}\leq \frac{1}{2}$



#229 luuhoangbach

luuhoangbach

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-Đại học quốc gia TP.HCM
  • Sở thích:Học toán hình và toán BĐT, tiếng Anh và đá bóng, nghe nhạc tiếng hoa và tiéng anh

Đã gửi 02-11-2017 - 22:42

Mọi người làm hộ mk bài này với...cảm ơn nhiều  :)

Cho a, b, c và a + b + c $\leq$ 1

CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{82}$

 

Cho bạn thêm 1 cách xài Cauchy nè!

 

Trước hết, ta cm 2 BĐt phụ đơn giản sau:

 

(1). Với mọi số thực a,b,x,y ta luôn có:

 

$\sqrt{a^{2}+b^{2}} + \sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq \sqrt{(a+x)^{2}+(b+y)^{2}}$

 

(2). $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$

 

Áp dụng BĐT (1) hai lần ta có:

 

$P\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$

 

Ta lại có$(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}= 81(x+y+z)^{2}+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}- 80(x+y+z)^{2}\geq 2\sqrt{81(x+y+z)^{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}-80=18(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-80=18.9-80=162-80=82$


“Work while they sleep.
Learn while they party.
Save while they spend.
Live like they dream.”
                                  ― Anonymous

#230 buihai2003vn

buihai2003vn

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-11-2017 - 21:28

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ac=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\leq 3+\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buihai2003vn: 27-11-2017 - 21:31


#231 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết

Đã gửi 30-07-2018 - 19:57

Bài tập 7:Tìm giá trị lớn nhất của $P=2018a(1-1009a)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 30-07-2018 - 20:05


#232 MaiTraqTonNu

MaiTraqTonNu

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:~Your Imagination~
  • Sở thích:Games And Maths <3

Đã gửi 26-11-2018 - 21:21

help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee !!!

tìm min: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ 

với 0 < x < 1

cách khác :D

 

y= $\frac{2}{1-x} -2 + \frac{1}{x} -1 + 3$
 =$\frac{2x}{1-x} + \frac{1-x}{x} + 3$
 $\geq 2\sqrt{2} + 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MaiTraqTonNu: 26-11-2018 - 21:33


#233 MaiTraqTonNu

MaiTraqTonNu

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:~Your Imagination~
  • Sở thích:Games And Maths <3

Đã gửi 26-11-2018 - 21:32

Bài tập 7:Tìm giá trị lớn nhất của $P=2018a(1-1009a)$

đặt $1-2009a=t$ 

$\Rightarrow 2018a=(2-2t)$

pt $\Rightarrow P=2(1-t)t=-2(t^{2}-t)=-2(t^{2}-2\frac{1}{2}t+\frac{1}{4})+\frac{1}{2}=-2(t-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 1-1009a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2018}$



#234 Pham Thi Ha Thu

Pham Thi Ha Thu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 16-12-2018 - 21:03

Cho a,b,c>0 và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$

Tìm Max : $(\sqrt{ab}:\sqrt{a+b+2c})+\left ( \sqrt{bc}:\sqrt{b+c+2a} \right )+\left ( \sqrt{ac}:\sqrt{a+c+2b}\right )$



#235 Giabao3101

Giabao3101

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 15-04-2019 - 15:15

Help me!

Cho x, y là hai số dương tìm giá trị nhỏ nhất của BT:

S=(x+y)/căn(x(2x+y)+căny(2y+x)



#236 anze11

anze11

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 03-05-2019 - 21:18

Help me!

Cho x, y là hai số dương tìm giá trị nhỏ nhất của BT:

S=(x+y)/căn(x(2x+y)+căny(2y+x)

 

Lần sau bạn viết bằng LaTeX nhé.

Đề chắc là thế này:

Tìm GTNN của $S = \frac{x+y}{\sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)}}$

Ta có (dùng Cô-si / AM-GM)

$S = 2\sqrt{3}\cdot \frac{x+y}{2\sqrt{3x(2x+y)}+2\sqrt{3y(2y+x)}}$

$\geqslant 2\sqrt{3}\cdot \frac{x+y}{3x+(2x+y)+3y+(2y+x)}$

$\geqslant 2\sqrt{3}\cdot \frac{x+y}{6(x+y)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} & 3x = 2x + y \\ & 3y = 2y + x \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y$

 


 



#237 lemon31

lemon31

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ninh vân

Đã gửi 06-05-2019 - 11:26

Lần sau bạn viết bằng LaTeX nhé.

Đề chắc là thế này:

Tìm GTNN của $S = \frac{x+y}{\sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)}}$

Ta có (dùng Cô-si / AM-GM)

$S = 2\sqrt{3}\cdot \frac{x+y}{2\sqrt{3x(2x+y)}+2\sqrt{3y(2y+x)}}$

$\geqslant 2\sqrt{3}\cdot \frac{x+y}{3x+(2x+y)+3y+(2y+x)}$

$\geqslant 2\sqrt{3}\cdot \frac{x+y}{6(x+y)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} & 3x = 2x + y \\ & 3y = 2y + x \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y$

 

 

like  :like   :)


daninhbinh.vn - Chuyên cung cấp các sản phẩm đá mỹ nghệ các loại với chất lượng cao, giá tốt và uy tín nhất

 


#238 NguyenVanDien

NguyenVanDien

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2019 - 09:30

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{2\left | x+1 \right |}{\sqrt{x^{^2}+3}}$



#239 dang hoan nguyen

dang hoan nguyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 08-06-2019 - 08:14

cho mình hỏi cách giải câu này

tim min của : 

(x^1420 + x^404 + x^55 + x^50 + x^35 + x^25 + x^20 +x^7 + 2016)/x

(x>0)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dang hoan nguyen: 08-06-2019 - 11:59


#240 tthnew

tthnew

    Binh nhất

  • Điều hành viên THCS
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2019 - 19:47

bài  : cho $a^2 +b^2 +c^2 =1$ . Tìm GTNN của $P=\sum \frac{a}{b^2 +c^2}$

Thử sos nha! Mong mọi người check!  :D

Dự đoán xảy ra cực trị khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow P=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của P. Thật vậy,ta cần chứng minh:

$\sum_{cyc} \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$    (1)

BĐT trên là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa $a^2 + b^2 +c^2 = 3$ và đi chứng minh:

$\sum_{cyc} \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sum _{cyc} \frac{a}{3-a^2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum_{cyc} (\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2})\geq 0$ (2)

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{a}{3-a^2} -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(x^2-1))\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{x(x+2)(x-1)^2}{3-x^2}\geq 0$

BĐT cuối đúng nên (2) đúng. Do tính thuần nhất của BĐT nên (1) đúng.

Vậy..

Lần này thì mình không sai được :D :

Bài này thì theo mình dùng phương pháp U.C.T

Ta sẽ chứng minh:

$\frac{a}{b^2+c^2}= \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow (a-\frac{1}{\sqrt{3}})^2(3a\sqrt{3}+6)\geq 0$

Tương tự rồi cộng theo vế ta được:

$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.(\sum a^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Cách của anh căng não quá :( thử cách sos của em xem sao! 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh