Đến nội dung


Hình ảnh

Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 238 trả lời

#21 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 21:25

Bài 6:  Cho $a,b,c>0$ 

CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]

 


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#22 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 21:25

Bài 14: Áp dụng Bunhiacopxki ta có

$(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}).(\sqrt{a.(b+c)}+\sqrt{b.(c+a)}+\sqrt{c.(a+b)})\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$ 

Mặt khác $(\sqrt{a.(b+c)}+\sqrt{b.(c+a)}+\sqrt{c.(a+b)})= \frac{\sqrt{2}}{4}.(2.\sqrt{2a.(b+c)}+2.\sqrt{2b.(c+a)}+2.\sqrt{2c.(a+b)})\leq \frac{\sqrt{2}}{4}.(2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b)$ (Bất đẳng thức Cosi) $\sqrt{2}(a+b+c)$

=> $P\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{2}.(a+b+c)}+\frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$

$P= \frac{a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}}{\sqrt{2}(a+b+c)}+ \frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+ \sqrt{2}.(\frac{(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{a+b+c})$

Áp dụng AM-GM => $P\geq \frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}.2=\frac{5\sqrt{2}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:29


#23 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 18-01-2016 - 21:38

Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$

P/s: các bạn chú ý a,b,c chưa > 0 nha!!! 

Bài 20: Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=3\sqrt{2}$

Tìm min: $P= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 18-01-2016 - 21:42


#24 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 18-01-2016 - 21:48

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{2p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-01-2016 - 22:53


#25 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 21:49

Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$

P/s: các bạn chú ý a,b,c chưa > 0 nha!!!

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[4\sum \frac{ab}{3+c^2} \leqslant  \sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2} \leqslant \sum \left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )=3.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#26 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 18-01-2016 - 21:50

Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$

Ta có: Áp dung bđt AM-GM:

 

$\frac{ab}{3+c^{2}}=\frac{ab}{3-a^{2}+3-b^{2}}\leq \frac{ab}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}$

 

$\Rightarrow \frac{ab}{3+c^{2}}\leq \frac{\left | ab \right |}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{3-b^{2}}+\frac{b^{2}}{3-a^{2}})=\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})$

Tương tự:

 

$\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b^{2}}{b^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+a^{2}})$

$\frac{ca}{3+b^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{c^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}})$

 

Cộng vế theo vế suy ra đpcm.

Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1


:huh:


#27 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 18-01-2016 - 21:50

Bài 12: $a,b,c\geq 0; a+b+c=1$
CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geq \frac{1}{4}$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$
$=>2a\geqslant b+c$
$=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geqslant a^3+b^3+c^3+3bc(b+c)=a^3+(b+c)^3\geqslant \frac{1}{4}(a+b+c)^3=\frac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2};c=0$ và hoán vị

#28 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 18-01-2016 - 22:00

 

Bài 20: Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=3\sqrt{2}$

Tìm min: $P= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$

 Áp dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$
 Đặt $\sqrt{b^2+c^2}=x;\sqrt{c^2+a^2}=y;\sqrt{a^2+b^2}=z$ thì $a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2};b^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2};c^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}$ và $x+y+z=3\sqrt{2}$
$\rightarrow \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{x}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+2x-3x) \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}[\frac{(y+z)^{2}}{2x}+2x-3x] \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}[2(y+z)-3x]$
Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có 
$\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}[2(x+y+y+z+z+x)-3x-3y-3z]=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-01-2016 - 22:02


#29 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 22:11

bài 12 có vấn đề thì phải nhỉ dấu bằng đâu có xayr ra đối xứng mô
số trc abc là 15/4 chứ mình xin giải quết bài này và hằng số k min nhất thỏa bài này là 15/4 lun đó đồng bậc hóa bđt <=>
4(a^3+b^3+c^3)+15abc>=(a+b+c)^3 khai triển ra thì có 3(a^3+b^3+c^3)+9abc>=3ab(a+b)+3(b+c)bc+3(a+c)ac đúng vì đây là bđt schurrr
ps ra net mình sẽ post lại bằng latex rõ ràng :3 ây` số 6 dùng hoán vị là ra mệt ghê post bậy rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 18-01-2016 - 22:28


#30 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 18-01-2016 - 22:16

Bài 21: Cho a,b,c>0.

CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài 22: Cho $X,Y>0$

CM: $X^{Y} + Y^{X}> 1$

 

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 

mình không thạo loại này @

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng
\[\dfrac{a^4+b^4+c^4}{ab+ bc+ca}+ \dfrac{5abc}{a+b+c} \ge \frac{8}{9} (a^2+b^2+c^2).\]

 

Nếu giải được bằng S.O.S (bài gốc) rồi thì đăng giúp mình cái, mình vẫn còn chưa vững về S.O.S (lời giải kỹ tí nhé mang tính chất tham khảo 1 bài thôi chứ topic này không đi sâu vào cái này)


:huh:


#31 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 22:28

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 

 

Gọi $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC,$ ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R,\,R = \frac{abc}{4S},\,r = \frac{S}{p}$ và $p = \frac{a+b+c}{2}$ nên bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2abc}}.\] Bất đẳng thức này sai với $a=\frac{343}{38},\,b=\frac{39}{38},\,c=10.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-01-2016 - 22:30

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#32 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 22:34

bài 21 anh huyện hình như có đăng mở rộng bài ni nè em đọc rồi zô vấn đề
a^2+b^2+c^2+2abc+1 theo nguyên lí đirecle thì (a-1)(b-1)>=0 mà a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+abc+1=(a-b)^2+(c-1)^2+3c(a-1)(b-1)>=0 rồi dpcm

#33 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 18-01-2016 - 22:52

Bài 21: Cho a,b,c>0.

CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài 22: Cho $X,Y>0$

CM: $X^{Y} + Y^{X}> 1$

 

bài 21 anh huyện hình như có đăng mở rộng bài ni nè em đọc rồi zô vấn đề
a^2+b^2+c^2+2abc+1 theo nguyên lí đirecle thì (a-1)(b-1)>=0 mà a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)+abc+1=(a-b)^2+(c-1)^2+3c(a-1)(b-1)>=0 rồi dpcm

 

Bài 21: 

Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.

$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$

 

Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$

Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$

Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~

 

Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )

 

Continue...:

Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


:huh:


#34 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 18-01-2016 - 22:53

Gọi $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC,$ ta có $\frac{a}{\sin A} = 2R,\,R = \frac{abc}{4S},\,r = \frac{S}{p}$ và $p = \frac{a+b+c}{2}$ nên bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \leqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2abc}}.\] Bất đẳng thức này sai với $a=\frac{343}{38},\,b=\frac{39}{38},\,c=10.$

Đã edit ! 



#35 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 22:56

bài 23 cho a,b,c là các số thực dương chứng minh (a+b+c)^3>=27/4(a^2b+b^2c+c^2a+abc)

#36 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 18-01-2016 - 23:07

mình làm là vt>=3[(a+b+c)^2(1/a+1/b+1/c)]^(1/3) áp dụng am-gm abc(a+b+c)<=(ab+bc+ca)^2/3 nên 1/a+1/b+1/c>=3(a+b+c)/(ab+bc+ca) nên vt>=3[3(a+b+c)^3/(ab+bc+ca)] sau đó áp dụng am-gm nữa: (ab+bc+ca)^2(a2+b2+c2)<=(a+b+c)^6/27 nên (ab+bc+ca)<=(a+b+c)^3/9 từ đó suy ra dpcm bài 23 của bạn trên p/s đua nhau post bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 18-01-2016 - 23:15


#37 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2016 - 23:09

Đóng góp 1 bài toán mà mình khá tâm đắc

Bài 21:Cho $\Delta ABC$ có $p$ là nữa chu vi,$r$ là bán kính đường tròn nội tiếp

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{SinA}}+\frac{1}{\sqrt{SinB}}+\frac{1}{\sqrt{SinC}} \leq \sqrt{\frac{2p}{r}}$

-----
P/s:Mọi người cố gắng làm bài này nhé,không khó.Chỉ cần nhớ bổ đề là được  :icon6:
 

 

Lập luận tương tự như trên ta đưa bài toán về chứng minh \[\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \leqslant a+b+c.\] Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#38 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 19-01-2016 - 18:01

Bài 21:
Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.
$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$

Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$
Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$
Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~

Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )

Continue...:
Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

23/
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$.Từ giả thiết $=>p^2-2q=3$
Giả sử $P\geqslant 9$
BĐT$<=>p^2-4pr-18r-3\geqslant 0<=> r\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $r\geqslant \frac{p(4p-q^2)}{9}=\frac{p(p^2-6)}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương: $\frac{p(p^2-6)}{9}\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
$<=>(p-3)(4p^3-6p^2-33p+9)\geqslant 0$
Điều này luôn đúng vì $0<p\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
Suy ra đpcm.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-01-2016 - 18:04


#39 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 19-01-2016 - 22:58

 

Bài 21:

Xét a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là a-1 và b-1.

$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ba+ac-c$

 

Suy ra BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$

Bài toán CM xong. Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)\rightarrow (0;0;1)$

Bài 22: Tham khảo thôi @, bài này đăng lên chẳng qua là do mình từng rất tức ~~

 

Cách giải: Dùng bđt Benourlli áp dụng thẳng rồi phân tích nhân tử là ra luôn ( Mất cả năm lớp 8 @~ )

 

Continue...:

Bài 23: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm min: P= $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 23: 

Từ giả thiết: 

$\Rightarrow 0<a,b,c<\sqrt{3}$

Xét bài toán nhỏ với $0<x<\sqrt{3}$

 

Ta luôn có :

$2x+\frac{1}{x}\geq 3+\frac{1}{2}(x^{2}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{(2-x)(x-1)^{2}}{x}\geq 0$

Hiển nhiên đúng.

 

Thay vào bài toán ta có ngay  Pmin=9 khi a=b=c=1.

--------------------------------

23/
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$.Từ giả thiết $=>p^2-2q=3$
Giả sử $P\geqslant 9$
BĐT$<=>p^2-4pr-18r-3\geqslant 0<=> r\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $r\geqslant \frac{p(4p-q^2)}{9}=\frac{p(p^2-6)}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương: $\frac{p(p^2-6)}{9}\geqslant \frac{3-p^2}{4p-18}$
$<=>(p-3)(4p^3-6p^2-33p+9)\geqslant 0$
Điều này luôn đúng vì $0<p\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
Suy ra đpcm.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

p,q,r ứng dụng hay mà ở THCS còn hạn chế lắm...

-----------------------------

 

Bài 13: Cho $a,b,c>0$

CM: $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Giải:

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}\Leftrightarrow (1+abc)\sum \frac{1}{a(1+b)}\geq 3$

 

$\Leftrightarrow \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+ca+c}{c(1+a)}\geq 6\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a} \right ]\geq 6$

Hiển nhiên đúng theo AM-GM.

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

---------------------------

Bài 24: Cho $x,y,z>0$

CM: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz+8\geq 5(a+b+c)$

Bài 25: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác :

CM: $\sum \frac{a}{b+c}<2$


:huh:


#40 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-01-2016 - 23:53

 

Bài 25: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác :

CM: $\sum \frac{a}{b+c}<2$

 

 

$b+c>a \Leftrightarrow a(b+c)>a^2 \Leftrightarrow 2a(b+c)>a(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$

Nhờ đó:
$\sum\frac{a}{b+c}<\sum\frac{2a}{a+b+c}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 21-01-2016 - 23:54





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh