Chủ đề này có 238 trả lời

[PlanBbyFESN]

 

Tổng hợp một số bài chưa có lời giải ở Box THPT-ĐH:

 

Bài 106: Cho các số thực không âm thỏa $xy+yz+zx=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)$

 

Giải: (Nguyenhuyen_AG)

 

Trước hết ta có \[\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{y^2} + {z^2}}} + \frac{1}{{{z^2} + {x^2}}} \geqslant \frac{10}{(x+y+z)^2},\] và $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1 \geqslant x+y+z+2.$ Do đó \[P \geqslant \frac{10}{(x+y+z)^2}+\frac{5}{2}(x+y+z+2).\] Đặt $t = x+y+z \geqslant \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}$ thì \[P \geqslant f(t) = \frac{10}{t^2}+\frac{5}{2}(t+2).\] Khảo sát hàm $f(t)$ ta được

\[f(t) \geqslant f(2) = \frac{25}{2}.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\frac{25}{2}$ đạt được khi trong ba số $x,\,y,\,z$ có hai số bằng $1$ số còn lại bằng $0.$

 

 

----------------------------------------------------

 

Bài 121: Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=3abc$.

 

Tìm min: $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+6(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}+abc)$

[Trung Kenneth]

Bài 121

Ta có $ab+bc+ca=3abc \Rightarrow 6abc=2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow P= (a+b+c)^2+6.(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1})$

Sử dụng AM-GM : $\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\geq 1-\frac{a}{2}$

$\Rightarrow P = (a+b+c)^2-3(a+b+c)+18 = (a+b+c)(a+b+c-3)+18$

Từ giả thiết: $3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$ $\Rightarrow abc\geq 1$

AM-GM : $a+b+c\geq3 \sqrt[3]{abc}\geq 3$ $\Rightarrow a+b+c-3\geq 0$

$\Rightarrow P\geq 0+18=18$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

[PlanBbyFESN]

Tổng hợp các bài chưa có lời giải trong topic, còn khá nhiều nên mong mọi người ủng hộ! Chân thành cảm ơn!

 

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$

Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

Bài 73: $a,b,c>0;a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$

CM: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

 

Tổng hợp một số bài chưa có lời giải ở Box THPT-ĐH:

Bài 94: Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn $x,y,z\in \left [ 1,2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=\dfrac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\dfrac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\dfrac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$

Bài 95: Cho a,b,c là các số thực dương 

Min P = $\frac{a+3c}{a+2b+2c}$ + $\frac{4b}{a+b+2c}$ - $\frac{8c}{a+b+3c}$

Bài 96: a. Cho x,y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

            $M=\sqrt{(1-x)^2+y^2}+\sqrt{(1+x)^2+y^2}+\left | 2-y \right |$

             b. Cho a,b là các số thực thỏa:  $\left |a \right |<1$ , $\left | b-1 \right |<20$ , $\left | a-c \right |<30$. Chứng minh $\left | ab-c \right |<50$

Bài 97: Cho  $x,y,z>0$ với ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3.$ Tìm $MinP=\frac{{{\left( x+y+z-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 

Bài 98:  Cho  $a,b,c>0$. Chứng minh  $\frac{4a^2-b^2-c^2}{a(b+c)}+\frac{4b^2-c^2-a^2}{b(c+a)}+\frac{4c^2-a^2-b^2}{c(a+b)}\leq 3$

Bài 99: Cho $a,b,c\in [1;2]$

Tìm $minP=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{a^4+b^4+c^4}$

Bài 100: Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả mãn: $ab+bc+ca=1$. CMR:

$\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài 101: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm GTLN của

$P=\frac{a^2}{(b-c)^2+(b+c)a}+\frac{b^2}{(c-a)^2+(c+a)b}+\frac{c^2}{(a-b)^2+(a+b)c}.$

Bài 102:  

1,Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn x+y+z=3xyz.Chứng minh rằng:

 $\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2z^2x^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$

2,Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\geq 1$

Chứng minh rằng: $x+y+z\geq xy+yz+xz$

3,Cho 3 số $a,b,c$ không âm.Chứng minh:

$\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Bài 103:  Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn $4(x^3+8y^6)=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của : 

          $P=\frac{(x+2y^2+2)^3}{5(x^2+y^2)-5(x+y)+3}$

Bài 104: Cho 3 số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn$ a+b+c= 1 $  và $ ab+bc+ca >0 $ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 

$P = 2 ( \sqrt{\frac{2}{(a-b)^2} + \frac{2}{(b-c)^2}} + \frac{1}{|c-a|}) + \frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Bài 105: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $y+z=x(y^2+z^2)$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

Bài 107:  

1) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}=1$. Tìm Max

$A=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}$

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng

$B=\frac{x^4y^4}{x^5+y^5+x^4y^4}+\frac{y^4z^4}{y^5+z^5+y^4z^4}+\frac{z^4x^4}{z^5+x^5+z^4x^4}$

3) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh rằng

$\frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}\leq \frac{3}{4}$

4) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{4}+\frac{b}{6}+\frac{c}{3}=1$. Chứng minh 

$\frac{(a+2b)^3}{5c+4a}+\frac{27c^3}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^3}{a+2b+6c}\geq 16$

Bài 108:  Cho các số thực dương thay đổi $a,b,c$ sao cho $a+b+c=1$.

Tìm max P:       $P=3(a^2b+b^2c+c^2a)-5c^2+4c+2ab$

 

Tổng hợp một số bài chưa có lời giải ở Box THCS:

Bài 86: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $4x^{2}+9y^{2}+16z^{2}=1$

Tìm Min $\frac{2x}{9y^{2}+16z^{2}}+\frac{3y}{4x^{2}+16z^{2}}+\frac{4z}{4x^{2}+9y^{2}}$

Bài 87: Cho 3 số $a,b,c$ thỏa mãn :  $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

                        P=$4a^{3} + 4b^{3} + 4c^{3} + (a+b)(b+c)(c+a)$

Bài 88:  Cho $x+y+z=1$ . CMR: $44(xy+yz+zx)\leq (3x+4y+5z)^{2}$

Bài 89: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz = 4 $

Tìm giá trị lớn nhất của $P = xy+yz+xz$

Bài 90:  Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $x + y + 2 = z$. Tìm min P= $\frac{x}{x + yz} + \frac{y}{y + xz} + \frac{z^{2} + 2}{z + xy}$

Bài 91: Cho $a,b,c> 0$

CMR:$\frac{b^{2}c^{3}}{a^{2}(b+c)^{3}}+\frac{c^{2}a^{3}}{b^{2}(c+a)^{3}}+\frac{a^{2}b^{3}}{c^{2}(a+b)^{3}}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Bài 92: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 6$.

Chứng minh rằng $\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}\geq 1$

Bài 93: Cho $a,b,c,d$ dương thỏa mãn : $abcd=1$.

Chứng minh rằng:$\frac{(a-1)(c+1)}{1+bc+c}+\frac{(b-1)(d+1)}{1+cd+d}+\frac{(c-1)(a+1)}{1+ad+a}+\frac{(d-1)(b+1)}{1+ab+b}\geq 0$

 

Một số bài chưa có lời giải ở Box HSG-Olympic:

Bài 109:  

1) Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{4}$. Tìm min 

$P=4(x+y)(y+z)(z+x)+\frac{1}{2}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})$

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2+2xy=3(x+y+z)$. Tìm min

$P=x+y+z+\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$

3) CHo $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=3$. Tìm min

$P=\sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3})+4x-2}$

Bài 110:

Cho $a, b, c> 0$. Tìm Min:

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

Bài 111:

1, cho x,y,z > 0: xyz=1.

    Tìm Min của 

             P= $\frac{1}{(x+1)^{3}} +\frac{1}{(y+1)^3}+\frac{1}{(z+1)^3}$

2, cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1.

     tìm Min 

           P= $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

Bài 112:

Cho a,b,c> 0 thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2+abc=4$.CMR:

    $ \sum \frac{a^4}{b^2}\geq \sum \frac{ab}{c}$

Bài 113:

Cho a,b,c>0 thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$.Chứng minh

$(3a)^{\frac{1}{a^{2}}+\frac{2}{ab}}+(3b)^{\frac{1}{b^{2}}+\frac{2}{ac}}+(3c)^{\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}}\leqslant 19683$

Bài 114:

1.Cho $x,y,z,t\in \mathbb{R}, -1\leq x,y,z,t\leq 1, x+y+t+z=0$

Chứng minh $\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+t^2}+\sqrt{1+t+x^2}\geq 4$

2. Cho $x,y,z\in \mathbb{R},-1\leq x,y,z\leq 1, x+y+z\geq 0$

Chứng minh $\sqrt{1+x+\frac{7}{9}y^2}+\sqrt{1+y+\frac{7}{9}z^2}+\sqrt{1+z+\frac{7}{9}x^2}\geq 3$

Bài 115:

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

Bài 118:

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $2.\sqrt{\frac{3a}{a+b+c}}+3.\sqrt[3]{\frac{bc}{(a+b)(a+b+c+d)}}+4.\sqrt[4]{\frac{2b^{3}d}{81(a+b)^{3}(a+b+c+d)}} \leq \frac{25}{6}.$                                      

 

Bài 120: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $P=\sum_{cyc} \frac{a(a^{2}-bc)}{2a^{2}+bc}\geq 0$

 

-----------------------------------------------------------------------

 

Bài 81: Cho $xy+yz+zx=1$. Tìm min: $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$

 

 Và tìm công thức min tổng quát cho bài trên!

 

 

Tổng quát cho bài trên với: $mx^{2}+ny^{2}+pz^{2}$

 

Ta sẽ đưa về dạng: $m(x^{2}+\frac{n}{m}y^{2}+\frac{p}{m}z^{2})$

 

Rồi tiếp tục áp dụng phương pháp của anh Huyện!

----------------------------------------

Tổng quát cụ thể hơn cho bài sau đây cũng tương tự như vậy:

 

Bài 82: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1;x,y,z>0$

Tìm giá trị lớn nhất của: $xy+yz+2zx$

Và tìm công thức tổng quát cho bài trên!

 

 

 

Tổng quát: Với $x,\,y$ là hai số thực dương cho trước và $a,\,b,\,c$ là ba số thực bất kỳ, khi đó

\[ab+x \cdot bc + y \cdot ca \leqslant \frac{k}{2}(a^2+b^2+c^2),\]

trong đó $k$ là nghiệm dương của phương trình $k^3 - k(1+x^2+y^2)-2xy=0.$

 

 

 

$mab+nbc+pca=m(ab+\frac{n}{m}bc+\frac{p}{m}ca)\leq$

................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 08-03-2016 - 17:46

[Element hero Neos]

Bài $95$ ở $box$ THPT-ĐH bạn xem lại mẫu của phân số thứ nhất đi, phải là $a+2b+c$ chứ

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 106 đã giải rồi.

[PlanBbyFESN]

Tổng hợp các bài chưa có lời giải trong topic, còn khá nhiều nên mong mọi người ủng hộ! Chân thành cảm ơn!

Bài 107:  

Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh rằng

$\frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}\leq \frac{3}{4}$

 

Bài này đã từng được post, sau đây là những lời giải:

 

Lời giải 1 (đơn giản và hiệu quả nhất): (Nguyenhuyen_AG)

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[4\sum \frac{ab}{3+c^2} \leqslant  \sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2} \leqslant \sum \left ( \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2} \right )=3.\]

 

Lời giải 2: (PlanBbyFESN) 

Áp dung bất đẳng thức AM-GM:

 

$\sum \frac{ab}{3+c^{2}}=\sum \frac{ab}{3-a^{2}+3-b^{2}}\leq\sum \frac{ab}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{3+c^{2}}\leq\sum \frac{\left | ab \right |}{2\sqrt{(3-a^{2})(3-b^{2})}}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{a^{2}}{3-b^{2}}+\frac{b^{2}}{3-a^{2}})=\frac{1}{4}\sum (\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})=\frac{3}{4}$

 

Lời giải 3: (PlanBbyFESN)

 

Ta sẽ có đpcm nếu có $\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{3}{4}(\frac{bc(b+c)}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)})$  (*)

Thật vậy:

$(*)\Leftrightarrow 3(3+a^{2})(b+c)\geq 4\sum ab(a+b)$

Thay $3=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ vào : 

$\Leftrightarrow 3(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(b+c)\geq 4\sum ab(a+b)$

 

Đoạn này mới hay nè, đặt bút nháp cũng không ngờ có thể "vi diệu" như thế này:

$\Leftrightarrow 2c(a-c)^{2}+2b(a-b)^{2}+(b+c)(b-c)^{2}\geq 0$

Luôn đúng $\Rightarrow$ ĐPCM

p/s: lời giải này mang tính mày mò là chính

 

-------------------------------------------------------

 

Bài 106 đã giải rồi.

 

Em nhầm@@

 

-----------------------------------------------------------

 

Bài $95$ ở $box$ THPT-ĐH bạn xem lại mẫu của phân số thứ nhất đi, phải là $a+2b+c$ chứ

 

Cái này mình không chắc chắn được bạn ạ, nếu bạn sửa mà thấy hợp lí thì cứ post!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 06-03-2016 - 16:28

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 114:

1.Cho $x,y,z,t\in \mathbb{R}, -1\leq x,y,z,t\leq 1, x+y+t+z=0$

Chứng minh $\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+t^2}+\sqrt{1+t+x^2}\geq 4$

2. Cho $x,y,z\in \mathbb{R},-1\leq x,y,z\leq 1, x+y+z\geq 0$

Chứng minh $\sqrt{1+x+\frac{7}{9}y^2}+\sqrt{1+y+\frac{7}{9}z^2}+\sqrt{1+z+\frac{7}{9}x^2}\geq 3$

 

Bài 114 được anh Phan Thành Nam nhắc đến trong topic huyền thoại này: http://diendantoanho...jack-garfulkel/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 05-03-2016 - 22:17

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 115:

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$$

 

Đây cũng là một bài cũ được thảo luận rất nhiều trên diễn đàn: http://artofproblems...hard_inequality

 

 

Bài 118:

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$2.\sqrt{\frac{3a}{a+b+c}}+3.\sqrt[3]{\frac{bc}{(a+b)(a+b+c+d)}}+4.\sqrt[4]{\frac{2b^{3}d}{81(a+b)^{3}(a+b+c+d)}} \leq \frac{25}{6}.$$

 

 

Link http://diendantoanho...t3fracbcababcd/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 05-03-2016 - 22:24

[Element hero Neos]

Cái này mình không chắc chắn được bạn ạ, nếu bạn sửa mà thấy hợp lí thì cứ post!

Bài $95$ (sau khi sửa đề)

  Cho a, b, c là các số thực dương.

  Tìm min $P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

Lời giải:

  Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a+2b+c\\ y=a+b+2c\\ z=a+b+3c \end{matrix}\right.$

  Suy ra: $\left\{\begin{matrix} c=z-y\\ b=x+z-2y\\ a+3c=2y-x \end{matrix}\right.$

  Khi đó $P=\frac{2y-x}{x}+\frac{4(x+z-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}=(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z})-17$

  Dùng $AM-GM$ đánh giá từng cặp trong ngoặc, được: $P\geq 12\sqrt{2}-17$

  Dấu $"="$ xảy ra $\left\{\begin{matrix} \frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}\\ \frac{4z}{y}=\frac{8y}{z}\\ x,y,z>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4x^{2}=2y^{2}=z^{2}$

  Khi đó có: $\left\{\begin{matrix} a+b+2c=\sqrt{2}(a+2b+c)\\ a+b+3c=2(a+2b+c) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a \in \mathbb{R}\\ b=(1+\sqrt{2})a\\ c=(4+3\sqrt{2})a \end{matrix}\right.$

  Vậy $....$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 06-03-2016 - 08:26

[PlanBbyFESN]

 

Tổng hợp các bài chưa có lời giải trong topic, còn khá nhiều nên mong mọi người ủng hộ! Chân thành cảm ơn!

Bài 92: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 6$.

Chứng minh rằng $\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}\geq 1$

 

Bài 92:

 

$2A=2(\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2})=(a+b+c)-\sum \frac{ab^{2}}{b^{2}+2}$

 

$\frac{ab^{2}}{b^{2}+2}=\frac{ab^{2}}{\frac{b^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+2}\leq \frac{ab^{2}}{3\sqrt[3]{\frac{b^{4}}{2}}}=\frac{\sqrt[3]{2a^{3}b^{2}}}{3}=\frac{\sqrt[3]{2a.ab.ab}}{3}\leq \frac{2a+2ab}{9}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab^{2}}{b^{2}+2}\leq \frac{2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}{9}\leq \frac{2(a+b+c)+2\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{9}=4$

 

$\Rightarrow 2A=(a+b+c)-\sum \frac{ab^{2}}{b^{2}+2}\geq 6-4=2\Rightarrow A\geq 1$

......................................

[PlanBbyFESN]

Bài 121:  Cho $x,y,z$ là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: $x+y+z=3$.

 

 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{3xyz}{2}$

 

Bài 122:  Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$

 

 

TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức:  $P=a^{3}bc+ab^{3}c+abc^{3}+\frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{2}$

[manhhung2013]

Mình xung phong làm bài 67:

BĐT này các bạn tự chứng minh nhé $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \sqrt{a+b+c}$ với $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$ (dùng Bunhya là xong)

Từ giải thiết => a+b+c$\geq \frac{9}{2}$. Có $\sqrt{a+b+c}\geq \sqrt{\frac{9}{2}}\geq \sqrt{\frac{9}{16}.2^{3}}\geq \sqrt{\frac{9}{16}.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{3}}\geq \sqrt{\frac{9}{16}.\frac{27}{abc}}=\frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$

(Đpcm)

[manhhung2013]

Bài 123: Cho a, b, c>0 và a=b=c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{\left ( 2a^{2}+b^{2} \right )\left ( 2a^{2}+c^{2} \right )}+\frac{b^{3}}{(2b^{2}+c^{2})(2b^{2}+a^{2})}+\frac{c^{2}}{(2c^{2}+a^{2})(2c^{2}+b^{2})}\leq \frac{1}{3}$

[manhhung2013]

Mình làm bài 109.2 luôn: Giả thiết: $(x+y)^{2}+z^{2}=3(x+y+z)\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{2}\Rightarrow6\geqslant x+y+z$

Đến đây dự đoán được dấu bằng tại x=1; y=2; z=3 và sử dụng kĩ thuật điểm rơi. Cô si 3 số:

$\left ( x+z \right )+\frac{8}{\sqrt{x+z}}+\frac{8}{\sqrt{x+z}}\geqslant 3\sqrt[3]{(x+z)\frac{8}{\sqrt{x+z}}\frac{8}{\sqrt{x+z}}}=12$. Tách hoàn toàn tương tự với phần y+2 phần còn lại là:

$\frac{4}{\sqrt{x+z}}+\frac{4}{\sqrt{y+2}}-2\geq \frac{16}{x+z+4}+\frac{16}{y+2+4}-2\geq 16\left ( \frac{1}{x+z+4} +\frac{1}{y+6}\right )-2\geq 16\frac{4}{x+y+z+10}-2\geq 16\frac{4}{6+10}-2=2$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhhung2013: 13-03-2016 - 08:49

[the unknown]

 

Bài 102:  

2,Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\geq 1$

Chứng minh rằng: $x+y+z\geq xy+yz+xz$

 

Từ giả thiết $\sum \frac{1}{x+y+1}\geq 1$$\Rightarrow \sum \frac{x+y}{x+y+1}\leq 2$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:

 $2\geq \sum \frac{x+y}{x+y+1}=\sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+(x+y)}\geq \frac{4(x+y+z)^2}{\sum (x+y)^2+2(x+y+z)}$

$\Rightarrow 4(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)+4(x+y+z)\geq 4(x+y+z)^2\Leftrightarrow x+y+z\geq xy+yz+zx \Rightarrow Q.E.D$

[the unknown]

 

4) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{4}+\frac{b}{6}+\frac{c}{3}=1$. Chứng minh 

$\frac{(a+2b)^3}{5c+4a}+\frac{27c^3}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^3}{a+2b+6c}\geq 16$

 

 

Từ giả thiết suy ra $3a+2b+4c=12$

Trước hết ta sẽ chứng minh $(a+2b)(4a+5c)+(4a+4b+c)3c+(a+2b+6c)(c+2a)\leq (3a+2b+4c)^2$

$\Leftrightarrow 3(a-c)^2+4(b-c)^2\geq 0$ (luôn đúng $\forall a,b,c$)

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$\frac{(a+2b)^3}{5c+4a}+\frac{27c^3}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^3}{a+2b+6c}=\frac{(a+2b)^4}{(5c+4a)(a+2b)}+\frac{(3c)^4}{(4a+4b+c)(3c)}+\frac{(c+2a)^4}{(a+2b+6c)(c+2a)}\geq \frac{((a+2b)^2+9c^2+(c+2a)^2)^2}{(5c+4a)(a+2b)+(4a+4b+c)(3c)+(a+2b+6c)(c+2a)}$

$\geq \frac{(3a+2b+4c)^4}{9((5c+4a)(a+2b)+(4a+4b+c)(3c)+(a+2b+6c)(c+2a))}\geq \frac{(3a+2b+4c)^4}{9(3a+2b+4c)^2}=16\Rightarrow Q.E.D$

[the unknown]

 

Bài 111:

1, cho x,y,z > 0: xyz=1.

    Tìm Min của 

             P= $\frac{1}{(x+1)^{3}} +\frac{1}{(y+1)^3}+\frac{1}{(z+1)^3}$

 

Bổ đề: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xyz=1$ khi đó ta có:

$\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\geq 1$                            $(1)$

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{ab}{c^2},\frac{bc}{a^2},\frac{ca}{b^2})$ $\Rightarrow a,b,c>0$

Có $(1)$ $\Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{b^2c^2+a^2bc+a^4}\geq 1$

Có $\sum \frac{a^4}{b^2c^2+a^2bc+a^4}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (a^4+b^2c^2)+abc(a+b+c)}$

Mà $abc(a+b+c)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$\Rightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (a^4+b^2c^2)+abc(a+b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=1$

Áp dụng: Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$, ta có:

$2\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{8}=\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2(x+1)^2}$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$2\frac{1}{(y+1)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2(y+1)^2}$

$2\frac{1}{(z+1)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2(z+1)^2}$

Suy ra  $2(\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{(y+1)^3}+\frac{1}{(z+1)^3})+\frac{3}{8}\geq \frac{3}{2}(\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2})$

Nhận xét rằng ta có $(x+1)^2\leq \frac{4(x^2+x+1)}{3}\Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy $\sum \frac{1}{(x+1)^2}\geq \frac{3}{4}\sum \frac{1}{x^2+x+1}\geq \frac{3}{4}$

Vậy $2P+\frac{3}{8}\geq \frac{9}{8}\Leftrightarrow P\geq \frac{3}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{3}{8}$, xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 13-03-2016 - 19:17

[the unknown]

Bài 73: $a,b,c>0;a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$

CM: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức $ Bunyakovsky$, ta có

$(1+2)(a^2+2b^2)=(1+(\sqrt{2})^2)(a^2+(b\sqrt{2})^2)\geq (a+2b)^2\Rightarrow a+2b\leq 3c$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\Rightarrow Q.E.D$

[PlanBbyFESN]

 

Bài 121:  Cho $x,y,z$ là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: $x+y+z=3$.

 

 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{3xyz}{2}$

 

Bài 122:  Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$

 

 

TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức:  $P=a^{3}bc+ab^{3}c+abc^{3}+\frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{2}$

 

 

Mọi người có thể tham khảo bài toán tổng quát của mình tại đây!

[PlanBbyFESN]

Chuyên đề này sẽ giúp giải quyết các bài toán dạng :

 

 

Bài 121:  Cho $x,y,z$ là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: $x+y+z=3$.

 

 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{3xyz}{2}$

 

Bài 122:  Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$

 

 

TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức:  $P=a^{3}bc+ab^{3}c+abc^{3}+\frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{2}$