Chủ đề này có 2 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho 3 số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 18-01-2016 - 01:08

[royal1534]

Cho 3 số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{4}$

Để cho dễ nhìn.Đăt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$

BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow \sum \frac{yz}{x^{2}+3yz} \leq \frac{3}{4}$

                                   $\leftrightarrow \sum \frac{1}{3}-\frac{yz}{x^{2}+3yz} \geq \frac{1}{4}$ 

                                   $\leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+3yz} \geq \frac{3}{4}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz kết hợp nhận xét $xy+yz+xz \leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$ ta có:

$\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+3yz} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}+xy+yz+zx} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{3}{4}$

Vậy ta có đpcm,Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[KietLW9]

Tương tự: https://diendantoanh...sqrtxyz2sqrtxy/