Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
STARLORD

STARLORD

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

1. Cho các số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN biểu thức 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}$

2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh :

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

 



#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

1. Cho các số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN biểu thức 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}$

2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh :

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

2. Ta có: 

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$ (xem chứng minh tại đây)

Vậy:

$VT\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(z+1)^{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{z}}+\frac{1}{(z+1)^{2}}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}$

Do đó, chỉ cần chứng minh:

$\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow (z-1)^{2}\geq 0$  (luôn đúng).

BĐT được chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-01-2016 - 19:19


#3
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

1. Cho các số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN biểu thức 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+ab}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}$

2. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh :

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

1.

$P\geq \frac{4}{\sqrt{a^{2}+ab}+\sqrt{b^{2}+ab}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}\geq \frac{2\sqrt{2}}{a+b}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+c}= \frac{2}{\sqrt{1-c^{2}}}+\frac{2\sqrt{3}}{c+1}$

Đến đây, khảo sát hàm một biến là ra (kq ở đây)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-01-2016 - 19:38





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh