Chủ đề này có 1 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $y+z=x(y^2+z^2)$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

[KietLW9]

Lời giải. Ta có: $y+z=x(y^2+z^2)\geqslant \frac{x(y+z)^2}{2}\Rightarrow y+z\leqslant \frac{2}{x}$

Mặt khác $yz\leqslant \frac{(y+z)^2}{4}\Rightarrow yz\leqslant \frac{1}{x^2}$

Như vậy ta có: $(1+y)(1+z)=1+y+z+yz\leqslant 1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{x}+1)^2$

Xét biểu thức $A=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geqslant \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{2}{(1+y)(1+z)}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{2(x+3)}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geqslant \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{2(x+3)}{(1+x)(\frac{1}{x}+1)^2}=\frac{2x^3+6x^2+x+1}{(x+1)^3}=\frac{2x^3+6x^2+x+1}{(x+1)^3}-\frac{91}{108}+\frac{91}{108}=\frac{(5x-1)^2(5x+17)}{108(x+1)^3}+\frac{91}{108}\geqslant \frac{91}{108}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\frac{91}{108}$, đạt được khi $x=\frac{1}{5},y=z=5$