Chủ đề này có 4 trả lời

[LacKonKu]

Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2015 chữ số sao cho số lần xuất hiện của mỗi chữ số 1,2,3 là số lẻ.

[hxthanh]

Gọi $(2a+1), (2b+1), (2c+1)$ lần lượt là số các chữ số 1,2,3

Ta có: $2a+1+2b+1+2c+1=2015$ hay $a+b+c=1006\qquad (*)$

Ở đó $a,b,c$ là các số nguyên không âm.

Với mỗi bộ nguyên không âm $(a,b,c)$ thỏa mãn $(*)$ thì ta lập được $\dfrac{2015!}{(2a+1)!(2b+1)!(2c+1)!}$ số tự nhiên thỏa đề bài

Do đó, đáp số của bài toán là giá trị của tổng sau:

$$S=\sum_{a+b+c=1006}\dfrac{2015!}{(2a+1)!(2b+1)!(2c+1)!}$$

Có thể thay $c=1006-a-b$, lại đặt $a+b=d$

$$S=\sum_{d=0}^{1006}\sum_{a=0}^d\dfrac{2015!}{(2a+1)!(2d-2a+1)!(2013-2d)!}$$

$$S=\sum_{d=0}^{1006}\binom{2015}{2d+2}\sum_{a=0}^d \binom{2d+2}{2a+1}$$

$$S=\sum_{d=0}^{1006}2^{2d+1}\binom{2015}{2d+2}\qquad(**)$$

 

Tổng $(**)$ này không biết phải làm sao để tính!

Nhưng mà đáp số là $S=\dfrac{3^{2015}-3}{4}$

 

[LacKonKu]

Cám ơn thầy đã thức khuya để giải bài.
Vâng, em lúng túng với bài này và đang tìm cách tiếp cận khác, PP hàm sinh chẳng hạn.

[dottoantap]

Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2015 chữ số sao cho số lần xuất hiện của mỗi chữ số 1,2,3 là số lẻ.

Vâng, xin dùng hàm sinh:

3 chữ số đã cho có vai trò như nhau nên hàm sinh của chúng là:

$x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ 

Theo qui tắc xoắn ta có:

$\left ( \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left (e^{x}-e^{-x} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left ( e^{3x}-3e^{x}+3e^{-x}-e^{-3x} \right )$

$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\left ( \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left ( 3x \right )^{n}}{n!}-3\sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{n}}{n!}+3\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\left ( -1 \right )^{n}x^{n}}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\left ( -3 \right )^{n}x^{n}}{n!}\right )=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{3^{n}-3+3\left ( -1 \right )^{n}-\left ( -3 \right )^{n}}{8}.\frac{x^{n}}{n!}$

Với $n=2015$, số các số thỏa yêu cầu là:

$\frac{3^{2015}-3+3\left ( -1 \right )^{2015}-\left ( -3 \right )^{2015}}{8}=\frac{2.3^{2015}-6}{8}=\frac{3^{2015}-3}{4} \text{ số}$

[Dat lon don]

Bài này dùng tổ hợp truy hồi cũng được nha

cuối cùng nó sẽ ra S_{2k+1 =  ( 3^2k+1 -3)/ 4}

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dat lon don: 07-10-2023 - 15:37