Chủ đề này có 9 trả lời

[minhrongcon2000]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM                                                                                               ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN NĂM 2016

Trường Phổ Thông Năng Khiếu                                                                                                                     Môn: TOÁN

                                                                                                                                       (Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)

 

Ngày 23 tháng 01 năm 2016

 

Bài 1. (5 điểm)

 

1) Cho các số x,y thỏa $x^{2}y^{2}+2yx^{2}+1=0$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{2xy+2x+1}{x^{2}}-y(y+2)$

 

2) Cho a,b,c là 3 nghiệm thực của phương trình $x^{3}-3x^{2}-x+2=0$. P(x) là một đa thức bậc 3 thỏa

$\left\{\begin{matrix} P(a)=b+c\\ P(b)=c+a\\ P(c)=a+b\\ P(a+b+c)=2 \end{matrix}\right.$

Tính $P(16)$

 

Bài 2. (5 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 4 và a,b,c,d là các số nguyên.

Đặt $S_{k}=a^{k}+b^{k}+c^{k}+d^{k}$ với k$\in \mathbb{N}$. 

Chứng minh nếu $S_{1}$ và $S_{3}$ chia hết cho p thì $S_{2015}$ cũng chia hết cho p.

 

Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm D thay đổi trên BC. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi P,M là tiếp tuyến của (I) với AB,BC; gọi N,Q là tiếp tuyến của (J) với AC,BC. Gọi X là giao điểm của PM và NQ. Chứng minh XD vuông góc với IJ

 

Bài 4. (5 điểm): Cho dãy số $(a_{n})$ được xác định bởi: $a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n}=2a_{n-1}-5a_{n-2}, \forall n \geqslant 3$.

a) Chứng minh rằng dãy số $(a_{n})$ chứa vô số số hạng là số dương và vô số số hạng là số âm.

b)Tìm tất cả số nguyên dương n để $a_{n}$ chia hết cho 19

[UphluMuach]

Bài 4
a) Ta thấy trong dãy luôn có ít nhất 1 số dương ($a_1$) và 1 số âm ($a_4$). Giả sử tồn tại hữu hạn số nguyên âm trong dãy.
$\Rightarrow \exists k \in N*$ :
$\begin{cases}
a_k < 0 \\
a_t \ge 0 \forall t \in N*, t>k
\end{cases}$
Ta có: $a_{k+4} = - a_{k+2} - 10a_{k+1} \ge 0 \Rightarrow$ dễ dàng CM được $a_{k} = 0$, vô lý.
CMTT với số dương.
b) Giả sử tồn tại $t \in N*$ : $19|a_t$. Dễ dành kiểm chứng $t \ge 7$. Gọi $A =$ {$x \in N* | 19|a_x$}, $k = minA (k \ge 7)$. Dễ dàng CM: $19|a_{k-5} \Rightarrow k-5 \in A$ (do $k-5 \in N*$) (vô lý do $k = minA$)
Do đó điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại phần tử nào thuộc dãy chia hết cho 19.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 23-01-2016 - 22:30

[UphluMuach]

Bài 2
Ta có: $(a+b+c+d) \vdots p, (a^3+b^3+c^3+d^3) \vdots p
\Rightarrow ((a+b)^3+(c+d)^3-3(ab(a+b)+cd(c+d))) \vdots p
\Rightarrow ((a+b)(ab-cd)+(a+b+c+d)cd) \vdots p$ (do $(3;p) = 1$)
$\Rightarrow (a+b)(ab-cd) \vdots p
\Rightarrow (a+b) \vdots p \vee (ab-cd) \vdots p$
- Với $(a+b) \vdots p$, ta có: $(c+d) \vdots p$. Dễ thấy $(a^{2015}+b^{2015})\vdots (a+b), (c^{2015}+d^{2015} \vdots (c+d)$. Dễ dàng suy ra $S_{2015} \vdots p$
- Với $(ab-cd) \vdots p$, ta có: $((a+b)^2-(c+d)^2) \vdots p
\Rightarrow (a^2-c^2+b^2-d^2) \vdots p
\Rightarrow ((a-c-b+d)(a+c)+(b-d)(a+b+c+d)) \vdots p
\Rightarrow -(a+c)(a+b+c+d)+2(a+c)(a+d) \vdots p
\Rightarrow (a+c) \vdots p \vee (a+d) \vdots p$ (do $(2;p)=1$). CMTT TH trên.
Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 23-01-2016 - 22:48

[quanguefa]

Bài 1.2

Áp dụng định lý Viet ta có: $a+b+c=3$

Đặt $Q(x)=P(x)+x-3$

Dễ thấy $Q(a)=Q(b)=Q(c)=0$

Mà Q(x) là đa thức bậc 3, suy ra Q(x) có dạng:

$Q(x)=k(x^{3}-3x^{2}-x+2)\Leftrightarrow P(x)=k(x^{3}-3x^{2}-x+2)+3-x$

Mà $P(3)=2$, từ đó tính được $k=-2$

$P(x)=-2x^{3}+6x^{2}+x-1$

$P(16)=-6641$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 23-01-2016 - 23:36

[quanguefa]

Bài 1.1 mình có ý tưởng thế này nhưng ko hay lắm.

Từ gt dễ dàng biến đổi được: $A=\frac{y+1}{x}+\frac{1}{x^{2}}$

Ta có: $x^{2}y^{2}+2x^{2}y+1=0$ nên: $y=\pm \frac{\sqrt{x^{4}-x^{2}}}{x^{2}}-1=\pm \frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x}-1$

Tới đây thay vào A ta đưa về tìm GTLN của: $A=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$

Và tìm GTNN của: $A=\frac{-\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$

Khảo sát hàm với điều kiện $x^{2}\geq 1$ ta tìm đc min, max của A

 

Nói sơ thì vậy nhưng trình bày thì phải xét trường hợp loạn xạ cả lên, tìm dấu = xảy ra cũng mệt nữa. Chéc có những cách khác hay hơn

[quanguefa]

Bài 4
a) Ta thấy trong dãy luôn có ít nhất 1 số dương ($a_1$) và 1 số âm ($a_4$). Giả sử tồn tại hữu hạn số nguyên âm trong dãy.
$\Rightarrow \exists k \in N*$ :
$\begin{cases}
a_k < 0 \\
a_t \ge 0 \forall t \in N*, t>k
\end{cases}$
Ta có: $a_{k+4} = - a_{k+2} - 10a_{k+1} \ge 0 \Rightarrow$ dễ dàng CM được $a_{k} = 0$, vô lý.
CMTT với số dương.
b) Giả sử tồn tại $t \in N*$ : $19|a_t$. Dễ dành kiểm chứng $t \ge 7$. Gọi $A =$ {$x \in N* | 19|a_x$}, $k = minA (k \ge 7)$. Dễ dàng CM: $19|a_{k-5} \Rightarrow k-5 \in A$ (do $k-5 \in N*$) (vô lý do $k = minA$)
Do đó điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại phần tử nào thuộc dãy chia hết cho 19.

$a_{k+4} = - a_{k+2} - 10a_{k+1} \ge 0$  

Làm sao tìm được cái đó vậy bạn @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 23-01-2016 - 23:48

[minhrongcon2000]

Bài 1.1 mình có ý tưởng thế này nhưng ko hay lắm.

Từ gt dễ dàng biến đổi được: $A=\frac{y+1}{x}+\frac{1}{x^{2}}$

Ta có: $x^{2}y^{2}+2x^{2}y+1=0$ nên: $y=\pm \frac{\sqrt{x^{4}-x^{2}}}{x^{2}}-1=\pm \frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x}-1$

Tới đây thay vào A ta đưa về tìm GTLN của: $A=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$

Và tìm GTNN của: $A=\frac{-\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$

Khảo sát hàm với điều kiện $x^{2}\geq 1$ ta tìm đc min, max của A

 

Nói sơ thì vậy nhưng trình bày thì phải xét trường hợp loạn xạ cả lên, tìm dấu = xảy ra cũng mệt nữa. Chéc có những cách khác hay hơn

Mình nghĩ bạn có thể biểu diễn x theo y thì sẽ ra một biểu thức A đẹp hơn, dễ tìm hơn

[9nho10mong]

 

Bài 1. (5 điểm)

 

1) Cho các số x,y thỏa $x^{2}y^{2}+2yx^{2}+1=0$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{2xy+2x+1}{x^{2}}-y(y+2)$

 

 

Đặt $ \displaystyle a=xy \  ; \ b= 2x $. Theo giả thiết đề bài có $ \displaystyle a^2+ab+1 = 0 $, dễ thấy $ \displaystyle a,b \neq 0 $. Từ đó có $ \displaystyle b^2=4x^2 \ ; \ y= \frac{2a}{b} \ ; \ b= \frac{-1-a^2}{a} $.

 

Như vậy

$$ A= \frac{8a+4b+4}{b^2} - \frac{2a}{b} \left( 2+ \frac{2a}{b}\right) = \frac{4a \left( a^2+2a-1 \right)}{\left( a^2+1 \right)^2} $$

Ta thấy

$$ A- \left(  1-\sqrt{2}\right) = \frac{\left( \sqrt{2} - 1 \right) \left( a^2+2a+2\sqrt{2}a -1 \right)^2}{\left( 1+a^2 \right)^2} \ge 0 $$

Nên 

$$ A \ge   1-\sqrt{2}  $$

Và

$$ 1+\sqrt{2} - A =  \frac{\left( \sqrt{2} +1 \right) \left( a^2+2a-2\sqrt{2}a -1 \right)^2}{\left( 1+a^2 \right)^2} \ge 0$$

Nên 

$$ A \le   1+ \sqrt{2}  $$

Tại $ \displaystyle x= -\sqrt{4+2\sqrt{2}} \ ; \ y= -1+\frac{\sqrt{8+4\sqrt{2}}}{4} $ thì $ \displaystyle A= 1-\sqrt{2} $.

Tại $ \displaystyle x= -\sqrt{4-2\sqrt{2}} \ ; \ y= -1-\frac{\sqrt{8-4\sqrt{2}}}{4} $ thì $ \displaystyle A= 1+\sqrt{2} $.

 

Vậy

$$ \text{max} \ A = 1+\sqrt{2} \ ; \ \text{min} \ A = 1-\sqrt{2} $$

 

[UphluMuach]

$a_{k+4} = - a_{k+2} - 10a_{k+1} \ge 0$
Làm sao tìm được cái đó vậy bạn @@

À, cái này mình làm hơi tắt :v
$a_{k+4}=2a_{k+3}-5a_{k+2}=2(2a_{k+2}-5a_{k+1})-5a_{k+2}=-a_{k+2}-10a_{k+1}
\Rightarrow a_{k+4}+a_{k+2}+10a_{k+1}=0$
Mà: $a_t \ge 0 \forall t \in N*, t>k$
Nên: $a_{k+4}=a_{k+2}=a_{k+1}=0 \Rightarrow a_k= \dfrac{2a_{k+1}-a_{k+2}}{5} = 0$ (Vô lý do $a_k < 0$)
Suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 24-01-2016 - 20:47

[UphluMuach]

Bài 1.1 mình có ý tưởng thế này nhưng ko hay lắm.
Từ gt dễ dàng biến đổi được: $A=\frac{y+1}{x}+\frac{1}{x^{2}}$
Ta có: $x^{2}y^{2}+2x^{2}y+1=0$ nên: $y=\pm \frac{\sqrt{x^{4}-x^{2}}}{x^{2}}-1=\pm \frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x}-1$
Tới đây thay vào A ta đưa về tìm GTLN của: $A=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$
Và tìm GTNN của: $A=\frac{-\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$
Khảo sát hàm với điều kiện $x^{2}\geq 1$ ta tìm đc min, max của A

Nói sơ thì vậy nhưng trình bày thì phải xét trường hợp loạn xạ cả lên, tìm dấu = xảy ra cũng mệt nữa. Chéc có những cách khác hay hơn

Thực ra về bản chất, cách làm của mình cũng giống cách làm của bạn...:
$A=\dfrac{2xy+2x+1}{x^2}-y(y+2)=\dfrac{2xy+2x+2-(x^2y^2+2x^2y+1)}{x^2}=2.\dfrac{x(y+1)+1}{x^2}$
Lại có: $x^2y^2+2x^2y+1=0 \Rightarrow x^2(y+1)^2=x^2-1 \Rightarrow -\sqrt{x^2-1} \le x(y+1) \le \sqrt{x^2-1}$. Đến đây cũng xét TH loạn xạ, nhưng xài Cauchy với cân bằng hệ số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 26-01-2016 - 09:27