Chủ đề này có 8 trả lời

[lamgiaovien2]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc$ <2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamgiaovien2: 23-01-2016 - 20:17

[NTA1907]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc$ >2

Đề phải là <2 chứ??

[lamgiaovien2]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc$ <2

[lamgiaovien2]

Đề phải là <2 chứ??

 

 

mình sửa rồi đó bạn

[haichau0401]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc$ >2

Đề phải là <2 nha bạn

Ta có:

$a < b + c$ 
--> $a + a < a + b + c$ 
--> $2a < 2$ 
--> $a < 1$ 

Tương tự ta có : $b < 1, c < 1$ 

Suy ra: $(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0$ 
⇔ $(1 – b – a + ab)(1 – c) > 0$ 
⇔ $1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0$ 
⇔ $1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc$ 

Nên $abc < -1 + ab + bc + ca$ 
⇔ $2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 
⇔ $a^2 + b^2+ c^2 + 2abc < a^2 + b^2 + c^2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 
⇔ $a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < (a + b + c)^2- 2$ 
⇔ $a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < 2^2- 2$ , (do $a + b = c = 2$ )
⇔ $dpcm$

[lamgiaovien2]

Đề phải là <2 nha bạn

Ta có:

$a < b + c$ 
--> $a + a < a + b + c$ 
--> $2a < 2$ 
--> $a < 1$ 

Tương tự ta có : $b < 1, c < 1$ 

Suy ra: $(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0$ 
⇔ $(1 – b – a + ab)(1 – c) > 0$ 
⇔ $1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0$ 
⇔ $1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc$ 

Nên $abc < -1 + ab + bc + ca$ 
⇔ $2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 
⇔ $a^2 + b^2+ c^2 + 2abc < a^2 + b^2 + c^2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 
⇔ $a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < (a + b + c)^2- 2$ 
⇔ $a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < 2^2- 2$ , (do $a + b = c = 2$ )
⇔ $dpcm$

bạn sai rồi, khi a, c ,b là 3 cạnh của tam giác đều thì bdt sai

[haichau0401]

bạn sai rồi, khi a, c ,b là 3 cạnh của tam giác đều thì bdt sai

ồ... cái này lại là một chuyện khác, đơn giản thôi mà bạn.

Giả sử như bạn nói đúng thì mình có thể chuyển tất cả dấu $>$ hoặc $<$ thành $\leq$ hoặc $\geq$

Đến bước cuối cùng thì bạn xét dấu "=" .... nhưng nó ko hệ xảy ra ... từ đó suy ra chỉ chó bé hơn chứ không bé hơn hoặc bằng...

p/s: ko hẳn sai đâu bạn 

[lamgiaovien2]

ý mình là khi a b c là 3 cạnh của tam giác đều thì bdt >2  chứ 

[Nguyen Hoang Thu]

Giả sử a>=b>=c. Ta có:
a<b+c => 2a<a+b+c=2=>a<1=> b<1,c<1
=> (1-a)(1-b)(1-c)>0. Rút gọn ta được
ab+bc+ca >1+abc
Ta lại có: (a+b+)^2 =a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)
=> 4= a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
=> 4> a^2+b^2+c^2+2(1+abc)=> 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc
=> a^2+b^2_c^2+2abc<2