Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{3}-3ab^{2}$ =52, $b^{3}-3a^{2}b$ =-47. Tính $a^{2}+b^{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
thanhmylam

thanhmylam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

1) Cho a,b,c thỏa mãn $a^{3}-3ab^{2}$ =52, $b^{3}-3a^{2}b$ =-47. Tính $a^{2}+b^{2}$

2) Cho a,b,c thỏa mãn $a=\frac{2b^{2}}{1+b^{2}}, b=\frac{2c^{2}}{1+c^{2}}, c=\frac{2a^{2}}{1+a^{2}}$. Tính M=abc

3) Cho $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=-2, \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=0$, Tính M=$\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}$



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Xét $(a^3-3ab^2)^2+(b^3-3a^2b)^2=(a^2+b^2)^3=4913$ vậy $a^2+b^2=..$



#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

3) Xét $(\sum \frac{x}{y})(\sum \frac{y}{x})=\sum \frac{x^2}{yz}+\sum \frac{yz}{x^2}+3$ 
Suy ra $\sum \frac{x^2}{yz}+\sum \frac{yz}{x^2}=-3$ 
Xét $(\sum \frac{x}{y})^3=\sum \frac{x^3}{y^3}+3.(\sum \frac{x^2}{yz}+\sum \frac{yz}{x^2})+6=-8$ . Tính được $\sum \frac{x^3}{y^3}$



#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

2) Từ giả thiết ta suy ra $a,b,c \ge 0$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
$b^2+1 \ge 2b$ suy ra $a=\frac{2b^2}{b^2+1} \le b$ 
Tương tự $b \le c$  
$c \le a$ 
Suy ra $c \le b$ 
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ 
Khi đó $a=\frac{2a^2}{1+a^2}$ 
Suy ra $a=b=c=0$ hoặc $a=b=c=1$ 
Khi đó $M=1$ hoặc $M=0$



#5
uchihasasuke

uchihasasuke

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

1) Cho a,b,c thỏa mãn $a^{3}-3ab^{2}$ =52, $b^{3}-3a^{2}b$ =-47. Tính $a^{2}+b^{2}$

2) Cho a,b,c thỏa mãn $a=\frac{2b^{2}}{1+b^{2}}, b=\frac{2c^{2}}{1+c^{2}}, c=\frac{2a^{2}}{1+a^{2}}$. Tính M=abc

3) Cho $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=-2, \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=0$, Tính M=$\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}$

2.Ta có:

$abc=\frac{8a^{2}b^{2}c^{2}}{(1+a^{2})(1+b)^{2}(1+c^{2})} \Leftrightarrow 8abc=(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$

áp dụng AM-GM có:

$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq 8abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

vậy abc=1



#6
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

2.Ta có:

$abc=\frac{8a^{2}b^{2}c^{2}}{(1+a^{2})(1+b)^{2}(1+c^{2})} \Leftrightarrow 8abc=(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$

áp dụng AM-GM có:

$(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq 8abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

vậy abc=1

Thiếu một trường hợp rồi. Cách này chưa chặt chẽ đâu. Còn phải xét $abc=0$ nữa mới được như vậy nhé 



#7
uchihasasuke

uchihasasuke

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Thiếu một trường hợp rồi. Cách này chưa chặt chẽ đâu. Còn phải xét $abc=0$ nữa mới được như vậy nhé 

thanks






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh