Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1
Chứng minh $\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 30-01-2016 - 20:03
Chứng minh $\frac{1+x^2}{1+y+x^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$
Bắt đầu bởi hthang0030, 30-01-2016 - 13:29
#2
Đã gửi 30-01-2016 - 14:20
Kira Tatsuya
-
- Thành viên
-
- 296 Bài viết
Thượng sĩ
cái phân thức đầu phải là $\frac{1+x^2}{1+y+z^2}$ mà nhỉ ?
----HIKKIGAYA HACHIMAN----
"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"
#4
Đã gửi 06-05-2021 - 11:31
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:
$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geqslant \frac{1+x^2}{1+\frac{y^2+1}{2}+z^2}+\frac{1+y^2}{1+\frac{z^2+1}{2}+x^2}+\frac{1+z^2}{1+\frac{x^2+1}{2}+y^2}$
Đặt $(x^2+1,y^2+1,z^2+1)\rightarrow (a,b,c)$ thì ta cần chứng minh:
$\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\geqslant 2$
Thật vậy,
$\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}=\frac{2a^2}{ab+2ca}+\frac{2b^2}{bc+2ab}+\frac{2c^2}{ca+2bc}\geqslant \frac{2(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\geqslant 2(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 06-05-2021 - 11:31
- LongNT yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
