Đến nội dung

Hình ảnh

$f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
UphluMuach

UphluMuach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa: $f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x) \forall x,y \in R$

#2
UphluMuach

UphluMuach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Tìm tất cả các hàm $f: N* \rightarrow N*$ thỏa: $f$ tăng nghiêm ngặt và $f(mf(n))=n^2f(mn) \forall m, n \in N*$

#3
UphluMuach

UphluMuach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Tìm tất cả các hàm $f: R^+ \rightarrow R^+$ thỏa: $x^2f(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x)) \forall x,y \in R^+$

#4
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa: $f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x) \forall x,y \in R$

Thay $y=-2f(x) $ , ta được

$f(0) = x +f(2f(-2f(x)) -x) $

Do đó $f$ toàn ánh

Khi đó $\exists a: f(a)=0$

Với mỗi $x, \exists b: f(b) = \frac{x}{2} $

Thay $y=b$, ta được

$f(2f(x) +b) = x + f(0) $

Thay $x=a => f(b) = a+f(0)  => f(0) = -\frac{a}{2} $

Thay $x=y=a => f(-a)=-a $

Ta cũng có $f(0) = f(2f(0) -a ) => f(0) = f(-2a) $

Thay $y=0, x=-a => f(0)= f(-2a)=-a + f(0) => a=0 => f(0)=0 $

Do đó, Thay $x=0 => f(y) =f(2f(y)) (*)$

                    $y=0=> f(2f(x)) = x +f(-x)$

Do đó $f(x) = x+f(-x) $

Do đó, ta được $f(2f(x) +y )=f( x-2f(y))$

Thay $x=0 => f(y) =f(-2f(y)) = y + f(2f(y)) $ vô lý với $(*)$

Do đó không có hàm $f$ thỏa YCBT



#5
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Thay $y=-2f(x) $ , ta được

$f(0) = x +f(2f(-2f(x)) -x) $

Do đó $f$ toàn ánh

Khi đó $\exists a: f(a)=0$

Với mỗi $x, \exists b: f(b) = \frac{x}{2} $

Thay $y=b$, ta được

$f(2f(x) +b) = x + f(0) $

Thay $x=a => f(b) = a+f(0)  => f(0) = -\frac{a}{2} $

Thay $x=y=a => f(-a)=-a $

Ta cũng có $f(0) = f(2f(0) -a ) => f(0) = f(-2a) $

Thay $y=0, x=-a => f(0)= f(-2a)=-a + f(0) => a=0 => f(0)=0 $

Do đó, Thay $x=0 => f(y) =f(2f(y)) (*)$

                    $y=0=> f(2f(x)) = x +f(-x)$

Do đó $f(x) = x+f(-x) $

Do đó, ta được $f(2f(x) +y )=f( x-2f(y))$

Thay $x=0 => f(y) =f(-2f(y)) = y + f(2f(y)) $ vô lý với $(*)$

Do đó không có hàm $f$ thỏa YCBT

anh ơi , sao đoạn này suy ra luôn được f toàn ánh hả anh, em mới học PTH nên chưa rõ lắm?



#6
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

anh ơi , sao đoạn này suy ra luôn được f toàn ánh hả anh, em mới học PTH nên chưa rõ lắm?

Đơn giản thôi em

$f(0)=x+f(2f(2f(x))x)$ 

Em thay $x$ bởi $f(0)-x$ , ta được

$x = f(2f(-2f(f(0)-x)) - f(0) +x) $

Với mỗi $x \in R$, ta chọn $y=2f(-2f(f(0)-x)) - f(0) +x $

Thì ta luôn có $x=f(y) $

Do đó, $f$ toàn ánh

f(0)=x+f(2f(2f(x))x)



#7
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f: N* \rightarrow N*$ thỏa: $f$ tăng nghiêm ngặt và $f(mf(n))=n^2f(mn) \forall m, n \in N*$

Bài này ta sẽ giải bằng phương pháp thêm biến

Ta tính

$f(mf(nf(z)))=n^2f^2(z)f(mnf(z))=n^2.f^2(z).z^2f(mnz)$

$f(mf(nf(z)))=f(mz^2f(nz))=n^2z^2f(mnz^3) $

Do đó

$f(mnz^3) = f^2(z).f(mnz) $

Từ đây, ta được $f(z^n) =f^n(z) $

Do đó, $f$ nhân tính

Suy ra $f(x)=x^a => a=2 $






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh