Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix}2 &-1  &0 \\  -1&2  &-1 \\  0&-1  &2 \end{pmatrix}$

Chứng minh rằng: Mỗi ma trận $B$ sao cho $AB=BA$ có dạng

$$B=aI+bA+cA^2,$$

Với a,b,c là các số thực nào đó.

[An Infinitesimal]

 

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix}2 &-1  &0 \\  -1&2  &-1 \\  0&-1  &2 \end{pmatrix}$

Chứng minh rằng: Mỗi ma trận $B$ sao cho $AB=BA$ có dạng

$$B=aI+bA+cA^2,$$

Với a,b,c là các số thực nào đó.

 

Thực hiện đồng nhất $AB=BA$, ta thu được

\[b_{2,1}=b_{2,3}=b_{3,2}=b_{1,2}=a',\]

\[b_{1,3}=b_{3,1}=b',\]

\[b_{3,3}=b_{1,1}=c',\]

\[b_{2,2}=b_{1,1}+b_{1,3}=b'+c'.\]

Với mỗi bộ $(a',b',c')$ tương ứng 1 một với bộ $(a,b,c)$ thỏa $ c'=a+2b+5c,\, a'=-b-4c,\, b'=c.$

Khi đó $B=aI_3+bA+cA^2$.

 

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu có đánh giá số chiều của không gian vector $\{B\in M_3(\mathbb{R}): AB=BA\}$ thì ta có thể chứng minh dễ dàng hơn thay vì phải khai triển tường minh cho đẳng thức $AB=BA$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 07-02-2016 - 11:46

[san1201]

Tổng quát: Cho A là 1 ma trận vuông có n gtr đôi 1 phân biệt thì

mọi ma trận B thoả mãn AB=BA  <=> B biểu diễn đc dưới dạng 1 đa thức của A