Đến nội dung

Hình ảnh

$xy+x,yx+y$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Cho $x,y$ là các số nguyên dương thỏa $xy+x,yx+y$ là số chính phương. Chứng minh trong $x,y$ tồn tại duy nhất một số chính phương.



#2
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
- Theo tôi bài này là đi chứng minh x hoặc y là số chính phương thì ta sẽ chứng minh một trong 2 số đó khi phân tích ra thừa số nguyên tố có chứa bình phương của 1 số Do đó : ta có hướng giải sau : - Gọi $ƯCLN(x,y)=d với d\epsilon \mathbb{N}^{*} , d là số nguyên tố \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=d.m & & \\ y= d.n & & $ \end{matrix}\right. \left ( m,n ) =1 m,n\epsilon \mathbb{Z}$ Ta có : $xy + x= d.m.(d.n + 1)$ $xy + y= d.n.(d.m + 1)$ là số chính phương mà d là số nguyên tố nên m , n chia hết cho d Do đó : $\left\{\begin{matrix}x=d^{2}.k & & \\ y=d^{2}.p & & \end{matrix}\right.$ Bây giờ ta sẽ xét 2 trường hợp : + d $\neq$ 1 ta có ngay đpcm + d =1 thì tớ còn đang bí ... các bạn tiếp sức với p/s : Do máy lag quá nên latex chỗ nào chưa được mọi người chỉnh giúp nhé !

                                                                                               


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

- Theo tôi bài này là đi chứng minh x hoặc y là số chính phương thì ta sẽ chứng minh một trong 2 số đó khi phân tích ra thừa số nguyên tố có chứa bình phương của 1 số Do đó : ta có hướng giải sau : - Gọi $ƯCLN(x,y)=d với d\epsilon \mathbb{N}^{*} , d là số nguyên tố \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=d.m & & \\ y= d.n & & $ \end{matrix}\right. \left ( m,n ) =1 m,n\epsilon \mathbb{Z}$ Ta có : $xy + x= d.m.(d.n + 1)$ $xy + y= d.n.(d.m + 1)$ là số chính phương mà d là số nguyên tố nên m , n chia hết cho d Do đó : $\left\{\begin{matrix}x=d^{2}.k & & \\ y=d^{2}.p & & \end{matrix}\right.$ Bây giờ ta sẽ xét 2 trường hợp : + d $\neq$ 1 ta có ngay đpcm + d =1 thì tớ còn đang bí ... các bạn tiếp sức với p/s : Do máy lag quá nên latex chỗ nào chưa được mọi người chỉnh giúp nhé !

Bài này dùng nguyên lí cực hạn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh