Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix}x^{5}+y^{5}+z^{5}=12 & & \\ x+y+z= 7& & \end{matrix}\right.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
Tìm nghiệm nguyên của Hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}x^{5}+y^{5}+z^{5}=12 & & \\ x+y+z= 7& & \end{matrix}\right.$

                                                                                               


#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Ta làm như sau . Từ hệ ta có thể thấy được  
$x^5+y^5=12-z^5,x+y=7-z$ 
Xét $x+y=0$ từ đó tìm được $z$ 
Xét $x+y \ne 0$ 
Thì ta có $(x^5+y^5) \vdots x+y$ 
Từ đó cho $(12-z^5) \vdots 7-z$ 
Xét $z^5-12=z^5-7^5+16795 \vdots 7-z$ 
Suy ra $7-z \in Ư(16795)$ hơi dài và trâu



#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên của Hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}x^{5}+y^{5}+z^{5}=12 & & \\ x+y+z= 7& & \end{matrix}\right.$

(Chỉnh lý lại lời giải của @ I Love MC)

 

Giả sử tồn tại các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Suy ra :

$\left\{\begin{matrix}x^5+y^5=12-z^5\\x+y=7-z \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x+y\neq 0$ (vì nếu $x+y=0$ thì ta có $12-z^5=0$ và $7-z=0$ ---> vô lý)

Do đó $x^5+y^5\ \vdots \ x+y\Rightarrow 12-z^5\ \vdots \ 7-z\Rightarrow 7^5-z^5-16795\ \vdots \7-z\Rightarrow 16795\ \vdots \ 7-z$

Mà $16795$ phân tích ra thừa số nguyên tố là $5.3359$

$\Rightarrow 7-z\in \left \{ \pm 1;\pm 5;\pm 3359;\pm 16795 \right \}$ (1)

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có :

$7-y\in \left \{ \pm 1;\pm 5;\pm 3359;\pm 16795 \right \}$ (2)

$7-x\in \left \{ \pm 1;\pm 5;\pm 3359;\pm 16795 \right \}$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow x,y,z\in \left \{ 6;8;2;12;-3352;3366;-16788;16802 \right \}$ (4)

Nhưng (4) lại mâu thuẫn với phương trình thứ hai của hệ ($x+y+z=7$)

Vậy điều giả sử ban đầu không đúng ---> hệ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

 

-------------------------------------------------- CHÚC MỪNG NĂM MỚI ------------------------------------------------------------


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh