$\left\{\begin{matrix}x^{5}+y^{5}+z^{5}=12 & & \\ x+y+z= 7& & \end{matrix}\right.$
#2
Đã gửi 07-02-2016 - 20:23
Ta làm như sau . Từ hệ ta có thể thấy được
$x^5+y^5=12-z^5,x+y=7-z$
Xét $x+y=0$ từ đó tìm được $z$
Xét $x+y \ne 0$
Thì ta có $(x^5+y^5) \vdots x+y$
Từ đó cho $(12-z^5) \vdots 7-z$
Xét $z^5-12=z^5-7^5+16795 \vdots 7-z$
Suy ra $7-z \in Ư(16795)$ hơi dài và trâu
- chanhquocnghiem, tpdtthltvp, olympiachapcanhuocmo và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 08-02-2016 - 15:39
Tìm nghiệm nguyên của Hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}x^{5}+y^{5}+z^{5}=12 & & \\ x+y+z= 7& & \end{matrix}\right.$
(Chỉnh lý lại lời giải của @ I Love MC)
Giả sử tồn tại các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
Suy ra :
$\left\{\begin{matrix}x^5+y^5=12-z^5\\x+y=7-z \end{matrix}\right.$
Dễ thấy $x+y\neq 0$ (vì nếu $x+y=0$ thì ta có $12-z^5=0$ và $7-z=0$ ---> vô lý)
Do đó $x^5+y^5\ \vdots \ x+y\Rightarrow 12-z^5\ \vdots \ 7-z\Rightarrow 7^5-z^5-16795\ \vdots \7-z\Rightarrow 16795\ \vdots \ 7-z$
Mà $16795$ phân tích ra thừa số nguyên tố là $5.3359$
$\Rightarrow 7-z\in \left \{ \pm 1;\pm 5;\pm 3359;\pm 16795 \right \}$ (1)
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có :
$7-y\in \left \{ \pm 1;\pm 5;\pm 3359;\pm 16795 \right \}$ (2)
$7-x\in \left \{ \pm 1;\pm 5;\pm 3359;\pm 16795 \right \}$ (3)
(1),(2),(3) $\Rightarrow x,y,z\in \left \{ 6;8;2;12;-3352;3366;-16788;16802 \right \}$ (4)
Nhưng (4) lại mâu thuẫn với phương trình thứ hai của hệ ($x+y+z=7$)
Vậy điều giả sử ban đầu không đúng ---> hệ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
-------------------------------------------------- CHÚC MỪNG NĂM MỚI ------------------------------------------------------------
- tpdtthltvp yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh