cho a,b,c>0tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$
$\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$
Bắt đầu bởi luukhaiuy, 09-02-2016 - 15:18
#2
Đã gửi 18-05-2021 - 13:47
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
cho a,b,c>0tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$
Lời giải. Đặt $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}=P$
Đặt $\left\{\begin{matrix}ab=x & \\ bc=y & \\ ca=z & \end{matrix}\right.$ thì $P=\frac{x-y}{y+z}+\frac{3y+z}{z+x}+\frac{3z-3y}{x+y}$
Tiếp tục đặt $(x+y,y+z,z+x)\rightarrow (m,n,p)$ thì $\left\{\begin{matrix}x=\frac{p+m-n}{2} & \\ y=\frac{m+n-p}{2} & \\ z=\frac{n+p-m}{2} & \end{matrix}\right.$ và $P=\frac{p-n}{n}+\frac{m+2n-p}{p}+\frac{3p-3m}{m}$
Áp dụng $\text{AM-GM}$, ta được: $P=\frac{p-n}{n}+\frac{m+2n-p}{p}+\frac{3p-3m}{m}=(\frac{p}{n}+\frac{2n}{p})+(\frac{m}{p}+\frac{3p}{m})-5\geqslant 2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-05-2021 - 13:50
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
