Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :
$\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$
Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :
$\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$
fromk96e1lhpnd
BĐT chứng minh tương đương với :
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}.\sqrt{\frac{a+c}{b}} \ge 6$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
$VT \ge 3.\sqrt[3]{\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c}}$
Có $\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c} \ge 8.\frac{\sqrt{(abc)^2}}{abc}=8$
Vậy nên $VT \ge 3.\sqrt[3]{8}=6$
Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :
$\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$
Biến đổi :$\sqrt{\frac{1}{a}-1}=\sqrt{\frac{a+b+c}{a}-1}=\sqrt{\frac{b+c}{a}}$ .
Tương tự, ta được :
$\sum \sqrt{\frac{(b+c)(c+a)}{ab}}\geq 6\\\Leftrightarrow \sum \sqrt{c(c+a)(c+b)}\geq6\sqrt{abc}$
Áp dụng $Cauchy$ cho 3 số, ta có :$VT\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}(b+c)(c+a)(a+b)}\geq3\sqrt[3]{\sqrt{abc}.8\sqrt{bc}.\sqrt{ca}.\sqrt{ab}}\geq6\sqrt[3]{(\sqrt{abc})^3}\geq6\sqrt{abc}$
(đúng)
p/s:châm tay
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 11-02-2016 - 15:51
----HIKKIGAYA HACHIMAN----
"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"
BĐT chứng minh tương đương với :
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}.\sqrt{\frac{a+c}{b}} \ge 6$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
$VT \ge 3.\sqrt[3]{\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c}}$
Có $\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c} \ge 8.\frac{\sqrt{(abc)^2}}{abc}=8$
Vậy nên $VT \ge 3.\sqrt[3]{8}=6$
Cảm ơn ak
fromk96e1lhpnd
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
min,maxM=$\frac{x^{2}-8x+25}{x^{2}-6x+25}$Bắt đầu bởi thuyyyy, 26-12-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho $a+ b >1$ . CM $a^4 +b^4> \frac{1}{8}$Bắt đầu bởi Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$Bắt đầu bởi Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN, GTLN của PBắt đầu bởi chcd, 03-03-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$Bắt đầu bởi KietLW9, 28-06-2021 bất đẳng thức và cực tri |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh