Đến nội dung

Hình ảnh

[Đại số] THCS tháng 12: Chứng minh là số hữu tỷ

vmeo

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Cho $S$ là một tập các số thực dương, khác rỗng thoả mãn điều kiện: Với mọi $a,b,c\in S$ (không nhất thiết phân biệt) thì $a^3+b^3+c^3-3abc$ là số hữu tỉ.
Chứng minh rằng với mọi $a,b\in S$ thì $\dfrac{a-b}{a+b}$ hữu tỉ.
 
Phạm Quang Toàn, thầy Hà Duy Hưng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 12-02-2016 - 14:54

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Em thấy bài này hơi vô lí! Với mọi $a,b,c$ thuộc $S$ thì $a^3+b^3+c^3-3abc$ là số hứu tỉ!

Nếu vậy thì biểu thức cần chứng minh phải phụ thuộc cả a,b,c chứ!

Giả dụ: $S=(\sqrt[3]{2};1;\sqrt[3]{4})$ thì $a^3+b^3+c^3-3abc$ là số hữu tỉ!

Nếu chọn $a=\sqrt[3]{2}$;$b=1$ thì $\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sqrt[3]{2}-1}{\sqrt[3]{2}+1}=\frac{1}{(\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)}=\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt[3]{2}+1}}$ là số vô tỉ!

Ai có thể giải thích giùm em được không?



#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Có vẻ như em quên mất tính chất không nhất thiết phân biệt của $a,b,c$ rồi.  ;)


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Có vẻ như em quên mất tính chất không nhất thiết phân biệt của $a,b,c$ rồi.  ;)

Vâng cảm ơn anh nhiều!

Lời giải: Trường hợp 1: $S$ có duy nhất một phần tử $a$ thì $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=3a^{3}-3a^{3}=0$ hữu tỉ và $\frac{a-b}{a+b}=0$ là số hữu tỉ.

Trường hợp 2: $S$ có nhiều hơn 1 phần tử. Xét a,b là hai giá trị bất kì thuộc $S$.Theo giả thiết với $(a,b,c)\sim (a,b,b)$;$(a,b,c)\sim (a,a,b)$ ta suy ra:

$a^{3}+2b^{3}-3b^{2}a$ và $b^{3}+2a^{3}-3a^{2}b$ hữu tỉ.

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^{2}$ và $a^{3}-b^{3}+3ab(b-a)=(a-b)^{3}$ là số hữu tỉ.

Do thương của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ nên: $\frac{(a-b)^{3}}{(a+b)(a-b)^{2}}=\frac{a-b}{a+b}$ là số hữu tỉ.

Vậy ta có điều phải chứng minh./


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-02-2016 - 22:36






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmeo

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh