Đến nội dung

Hình ảnh

[Số học] THCS tháng 12: $a+b^2+c^3=d^2b$

vmeo

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c,d$ tạo thành một cấp số cộng (theo đúng thứ tự đó) với $d-c+1$ là số nguyên tố và $$a+b^2+c^3=d^2b$$
 
Chú thích: Một cấp số cộng là một dãy số sao cho bất kỳ hai phần tử liên tiếp đều hơn kém nhau một hằng số.
 
Phạm Quang Toàn

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

 

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c,d$ tạo thành một cấp số cộng (theo đúng thứ tự đó) với $d-c+1$ là số nguyên tố và $$a+b^2+c^3=d^2b$$
 
Chú thích: Một cấp số cộng là một dãy số sao cho bất kỳ hai phần tử liên tiếp đều hơn kém nhau một hằng số.
 
Phạm Quang Toàn

 

Vì $d-c+1$ là số nguyên tố nên ta xét 2 trường hợp

TH1:$d-c+1=2$ khi đó dãy các số nguyên $a,b,c,d$ là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 1.Khi đó phương trình (*) tương đương với $a+(a+1)^{2}+(a+2)^{3}=(a+3)^{2}(a+1)\Leftrightarrow a^{3}+7a^2+15a+9=a^{3}+7a^2+15a+9\Leftrightarrow 0=0$ (luôn đúng)

Do đó các cặp số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn đề bài là  $(a,b,c,d)=(k,k+1,k+2,k+3)$

TH2:$d-c+1 \geq 3$ khi đó $d-c$ là 1 số chẵn nên $d-c$ có dạng $d-c=2k$ ($k$ là số nguyên dương)

,khi đó dãy các số nguyên $a,b,c,d$ là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số $2k$.Khi đó $PT(*)$ tương đương với $a+(a+2k)^{2}+(a+4k)^{3}=(6k+a)^2(2k+a)\Leftrightarrow (1-2k)(4k^2+6ak+a^2+a)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1-2k=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}(VL do k\epsilon Z+) & \\ 4k^2+6ak+a^2+a=0 & \end{bmatrix}\Leftrightarrow 4k^2+6ak+a^2+a=0(**)$

+Nếu $a \geq 0$ (với $k \geq 1$) thì $4k^2+6ak+a^2+a> 0\rightarrow$ phương trình vô nghiệm,do đó $a<0$.

Ta có:$4k^2+6ak\vdots k\Rightarrow a^{2}+a\vdots k\Rightarrow a(a+1)\vdots k$

Do $(a;a+1)=1$ suy ra $\begin{bmatrix} a\vdots k & \\ a+1\vdots k & \end{bmatrix}$

Xét:TH1:$a+1\vdots k$.Từ $(**)$ ta có $4k^{2}\vdots a$

Lại có $a+1\vdots k\Rightarrow (a+1)^{2}\vdots k^{2}\Rightarrow 4(a+1)^{2}\vdots 4k^2$

$\Rightarrow 4(a+1)^{2}\vdots a$

Do $(a,a+1)=1$ nên $((a+1)^2;a)=1$ suy ra $4\vdots a$

Mà $a<0(cmt)$ nên $a=(-1;-2;-4)$.Thay vào $(**)$ ta có

  • $a=-1$ thì $4k^2-6k=0\Leftrightarrow 2k^2-3k=0\Leftrightarrow k(2k-3)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k=0(VL do k\geq 1) & \\ k=\frac{3}{2}(VL do k\epsilon Z+) & \end{bmatrix}\Rightarrow PTVN$
  • $a=-2$ thì $4k^2-12k+2=0\Leftrightarrow 2k^2-6k+1=0\Rightarrow \Delta' _{k}=(3)^2-2=7$ không là số chính phương nên PTVN
  • $a=-4$ thì $4k^2-24k+12=0\Leftrightarrow k^{2}-6k+3=0\Rightarrow \Delta '_{k}=3^2-3=6$ không là số chính phương nên PTVN

TH2:$a\vdots k$.Đặt $a=mk$ $(m\epsilon Z;m<0)$

Thay vào $(**)$ ta có $4k^{2}+6mk^2+m^2k^2+mk=0\Rightarrow 4k+6mk+m^2k+m=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}m\vdots k & \\ 4k\vdots m & \end{matrix}\right.$

Từ $m \vdots k$,đặt $m=nk(n\epsilon Z.n<0)\Rightarrow 4k\vdots nk\Rightarrow 4\vdots n\Rightarrow n=(-1;-2;-4)\Rightarrow m=(-k;-2k;-4k)$.

  • $m=-k$ $\Rightarrow a=-k^{2}$,thay vào $(**)$ ta có $k^4-6k^3+3k^2=0\Leftrightarrow k^{2}-6k+3=0\Rightarrow \Delta '_{k}=3^2-3=6$ không là số chính phương nên PTVN
  • $m=-2k$ $\Rightarrow a=-2k^2$,thay vào $(**)$ ta có $4k^4-12k^3+2k^2=0\Leftrightarrow 2k^{2}-6k+1=0\Rightarrow \Delta' _{k}=(3)^2-2=7$ không là số chính phương
  • $m=-4k$ $\Rightarrow a=-4k^2$,thay vào $(**)$ ta có $16k^4-24k^3=0\Leftrightarrow 2k-3=0\Leftrightarrow k=\frac{3}{2}(KTM k\epsilon Z+)\rightarrow PTVN$

Vậy ở trường hợp 2 không tồn tại số nguyên $a,b,c,d$ nào thỏa mãn đề bài

Kết luận:Các cặp số nguyên $a,b,c,d$ thỏa mãn đề bài là  $(a,b,c,d)=(k,k+1,k+2,k+3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 13-02-2016 - 08:20






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmeo

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh