Chủ đề này có 4 trả lời

[Zaraki]

Cho số nguyên dương $k$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau:

 

a) $n$ có ít nhất $k$ ước nguyên tố phân biệt.

b) Tất cả các ước nguyên tố khác $3$ của $n$ đều có dạng $4t+1$, với $t$ là số nguyên dương nào đó.

c) $n\mid 2^{\sigma (n)}-1$

 

Ở đây ta kí hiệu $\sigma(n)$ là tổng các ước nguyên dương của $n$.

Thầy Hà Duy Hưng

[Chris yang]

Bài này khó quá nhỉ Chưa thấy ai động 

Mình có ý tưởng xây dựng dãy nghiệm $n$ thỏa mãn tính chất nào đó để suy ra tồn tại vô số.

Tính chất ước nguyên tố dạng $4t+1$ hướng đến số có dạng $2^{2x}+1$. Xét dãy $(a_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} a_1=3\\ a_{n+1}=2^{2a_n}+1\end{matrix}\right.$.

Không chắc là tất cả nghiệm của dãy sẽ đúng, nhưng mình nghĩ rằng số $n$ thỏa mãn sẽ nằm trong này, hoặc có thể thêm một số điều kiện nào đó 

hide

Thử mấy chục TH, hy vọng ý tưởng đúng. Đến đây thì mình cũng tắc

 

 

[Zaraki]

Lời giải của mình cho bài toán này.

 

Lời giải. 

 

Ta sẽ tạm bỏ qua điều kiện (a) để tập trung tìm $n$ thoả mãn điều kiện (b), (c ) trước. Ta sẽ xây dựng dãy $p_1,p_1p_2, p_1p_2p_3, \cdots , p_1p_2 \cdots p_l$ thoả mãn điều kiện (b),(c ). Điều kiện (c ) có thể viết thành $p_1p_2 \cdots p_l \mid 2^{(p_1+1)(p_2+1) \cdots (p_l+1)}-1$.

------------------------------------

Chọn $p_1=3$ thì ta thấy $3 \mid 2^4-1=2^{\sigma (3)}-1$ thoả mãn. Để ý rằng $v_2(p_1+1)=2$ nên ta chọn $p_2$ sao cho $p_2 \mid 2^2+1 \mid 2^4-1=2^{p_1+1}-1$. Khi đó $p_1p_2 \mid 2^{(p_1+1)(p_2+1)}-1$. Tương tự, để ý rằng $v_2 \left( (p_1+1)(p_2+1) \right)=3$ nên ta chọn $p_3$ sao cho $$p_3 \mid 2^4+1 \mid 2^8-1 \mid 2^{(p_1+1)(p_2+1)}-1.$$ Khi đó $p_1p_2p_3 \mid 2^{(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)}-1$.

 

Tương tự, khi đã tìm được $p_l$ để $p_1p_2 \cdots p_l \mid 2^{(p_1+1)(p_2+1) \cdots (p_l+1)}-1$ và $v_2 \left( (p_1+1)(p_2+1) \cdots (p_l+1) \right)=A$ thì ta chọn $p_{l+1}$ sao cho $$p_{l+1} \mid 2^{2^{A-1}}+1 \mid 2^{2^A}-1 \mid 2^{(p_1+1)(p_2+1) \cdots (p_l+1)}-1.$$ 

Khi đó $p_1p_2 \cdots p_{l+1} \mid 2^{(p_1+1)(p_2+1) \cdots (p_{l+1}+1)}-1= 2^{\sigma (p_1p_2 \cdots p_{l+1})}-1$.

 

Dễ thấy rằng với cách xây dựng trên, dãy thoả mãn điều kiện (c ). Điều kiện (b) ở đây cũng thoả mãn vì $p_i \mid 2^{2^x}+1$ nên $p_i \equiv 1 \pmod{4}$.

------------------------------------

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy có vô hạn số, hay nói cách khác là luôn tìm được số $p_{l+1}$ sao cho $p_{l+1} \ne p_i \; (1 \le i \le l)$ và $p_{l+1} \mid 2^{2^{A-1}}+1$. Thật vậy, ta dễ dàng thấy rằng $\gcd \left(  2^{2^{A-1}}+1, 2^{2^i}+1 \right)=1$ với mọi $1 \le i <A-1$. Do $p_{i+1} \mid 2^{2^i}+1$ với mọi $1 \le i \le A-1$ nên suy ra $p_i \ne p_{l+1}$ với mọi $2 \le i \le l$. Ta cũng có rằng $2^{2^{A-1}}+1=p_1^m=3^m$ là không thể xảy ra, cho nên sẽ luôn tồn tại số $p_{l+1}$ thoả mãn điều kiện trên.

 

Để thoả mãn (a), ta chỉ cần chọn các số trong dãy thoả mãn có ít nhất $k$ trước nguyên tố phân biệt, hay các số $n$ thoả mãn (a), (b), (c ) là các số $p_1p_2 \cdots p_k, p_1p_2 \cdots p_{k+1}, \cdots$

[KietLW9]

Dạo này bận quá nên mới vô được diễn đàn   Bài này chắc thầy Hà Duy Hưng chế ra từ các tính chất của các số  Fermat

$\textbf{Lời giải.}$

Ta xét các số $F_n=2^{2^n}+1$ trong đó $n$ là một số tự nhiên

Rõ ràng tất cả các số hạng của dãy trên đều nguyên tố cùng nhau và nếu $n\geq 1$ thì $F_n$ sẽ không có ước nguyên tố dạng $4k+3$.

Gọi $p_i$ là một ước nguyên tố của $F_i$ thì $p_0=3$ và $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ là các số nguyên tố dạng $4t+1$ và các số này đều phân biệt

Ta chọn $n_{k-1}=p_0p_1...p_{k-1}$ thì $n_{k-1}$ sẽ có đúng $k$ ước nguyên tố phân biệt, và ngoại trừ số $3$ ra thì mọi ước nguyên tố của $n_{k-1}$ đều có dạng $4t+1$. Ta chứng minh đây là số thỏa mãn đề bài bằng cách chỉ ra $n_{k-1}|2^{\sigma (n_{k-1})}-1$

Thậy vậy, dễ dàng có $2^k| \sigma (n_{k-1})$ nên ta cần chứng minh: $n_{k-1}|2^{2^k}-1$

Mà mỗi ước nguyên tố của $n_{k-1}$ đều đôi một phân biệt nên bài toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra $p_i|2^{2^k}-1,\forall i = \overline{0,k-1}$

Đây là điểu hiển nhiên do $F_i|2^{2^k}-1,\forall i =\overline{0,k-1}$

 

[KietLW9]

vf

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 19-12-2022 - 12:16