Chủ đề này có 13 trả lời

[marsu]

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin trường PTNK ĐHQG TP.HCM

Năm học 1996-1997

Vòng 1

Bài 1:
Cho số nguyên $\large k$.
a) Chứng minh $\large (k^2+3k+5)$chia hết cho $\large 11$khi và chỉ khi $\large k=11t+4$với $\large t$là số nguyên .
b) Chứng minh $\large (k^2+3k+5)$không chia hết cho $\large 121$.

Bài 2:
Giải phương trình : $\large (x-2)^4+(x-3)^4=1$.

Bài 3:
Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp . Gọi $\large \gamma$là đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC .
a) Chứng minh rằng tâm của $\large \gamma $nằm trên đường thẳng AI .
b) Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A $\large \gamma$tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC .

Bài 4:
Chứng minh rằng có thể chia các số 1, 2,..., 3N ( N 2) thành 3 nhóm gồm N số mà tổng của các số chứa trong nhóm đều bằng nhau .

Bài 5:
Trong giải Euro'96, sau vòng đấu loại, ở mộ bảng có kết quả như sau : A nhất, B nhì, C ba, D tư . Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba, C tư . Hãy cho biết điểm thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào có hiệu số bàn thằng thua lớn hơn sẽ được sếp trên và trên thực tế cả bốn đội đều có số hiệu số bàn thắng thua khác nhau .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 29-04-2009 - 12:21

[marsu]

Vòng 2

Bài 1:
Gọi $\large a, b$ là hai nghiệm của phương trình $\large x^2+px+1=0$ , $\large c, d$ là hai nghiệm của phương trình $\large y^2+qy+1=0$ . Chứng minh hệ thức : $\large (a-c)(a-d)(b-c)(b-d)=(p-q)^2$ .

Bài 2:
Cho $\large x, y, z$ là các số thực thỏa mãn : $\large \left\{\begin{array}{l}x+y+z=5\\x^2+y^2+z^2=9\end{array}\right. $ . Chứng minh $\large 1 \le x,y,z \le \dfrac{7}{3}$ .

Bài 3:
a) Cho tứ giác lồi ABCD, hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện tích tứ giác ABCD .
b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d//BC nằm khác phía A đối với BC . Lấy điểm M di động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi . Đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM tại N . Tìm quỹ tích điểm N .

Bài 4:
Chứng minh không tồn tại số tự nhiên $\large n$ sao cho $\large \sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ là số hữu tỉ .

Bài 5:
a) Chứng minh với $\large N \ge 3$ luôn luôn có $\large N$ số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương .
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $\large nm \ge 3$ bao giờ cũng xây dựng được một bảng chữ nhật gồm $\large n$ x $\large m$ số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 29-04-2009 - 12:23

[leechangkun]

Mình không đọc được đề, nếu được vui lòng up lại file hình ảnh, hay pdf nhé. Thank nhìu nhìu

[phatthemkem]

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin trường PTNK ĐHQG TP.HCM

Năm học 1996-1997

Vòng 1

Bài 2:
Giải phương trình : $\large (x-2)^4+(x-3)^4=1$.

$*$ Với $x=2$ hoặc $x=3$ thì cả $2$ vế của phương trình đều bằng $1$ $(1)$
$*$ Với $x<2$ thì $(x-2)^4>0$ và $(x-3)^4>1$ $\Rightarrow$ $\large (x-2)^4+(x-3)^4>1$ $(2)$
$*$ Với $x>3$ thì $(x-2)^4>1$ và $(x-3)^4>0$ $\Rightarrow$ $\large (x-2)^4+(x-3)^4>1$ $(3)$
$*$ Với $2<x<3$ thì $0<x-2<1$, còn $-1<x-3<0$
Nên $(x-2)^4<|x-2|=x-2$
$(x-3)^4<|x-3|=3-x$
$\Rightarrow$ $\large (x-2)^4+(x-3)^4<x-2+3-x=1$ $(4)$
Từ $(1),(2),(3),(4)$ $\Rightarrow$ phương trình có tập nghiệm $S={2;3}$

[chaugaihoangtuxubatu]

Bài 1:
Cho số nguyên $\large k$.
a) Chứng minh $\large (k^2+3k+5)$chia hết cho $\large 11$khi và chỉ khi $\large k=11t+4$với $\large t$là số nguyên .

Thay $k=11t+4$ vào phương trình ta được :
$k^2+3k+5=(11t+4)^2+3(11t+4)+5=121t^2+121t+33$ chia hết cho 11 (với t nguyên)
Ai giúp em nốt phần đảo với.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 03-01-2013 - 21:16

[Oral1020]

1b)
Giả sử $k^2+3k+5 \vdots 121$
$\Longrightarrow 4(k^2+3k+5) \vdots 121$
$\Longleftrightarrow (2k+9)^2+11 \vdots 121 \vdots 11$
$\Longleftrightarrow 2k+9 \vdots 11$
$\Longleftrightarrow (2k+9)^2+11 \not{\vdots} 121$
$\Longrightarrow$ Điều giả sử là sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 03-01-2013 - 21:10

[duaconcuachua98]

Vòng 2

Bài 1:
Gọi $\large a, b$ là hai nghiệm của phương trình $\large x^2+px+1=0$ , $\large c, d$ là hai nghiệm của phương trình $\large y^2+qy+1=0$ . Chứng minh hệ thức : $\large (a-c)(a-d)(b-c)(b-d)=(p-q)^2$ .

Theo định lý Viét ta có $\left\{\begin{matrix} a+b=-p & & \\ c+d=-q & & \\ ab=cd=1 & & \end{matrix}\right.$
Ta có $VT=4-2ac-2bd-2ad-2bc+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4-2(a+b)(c+d)+(a+b)^{2}-2ab+(c+d)^{2}-2cd=4-2pq+p^{2}-2+q^{2}-2=(p-q)^{2}=VP$

[Oral1020]

Vòng 2,bài 4:
Bổ đề:Căn bậc hai của một số không phải là một số chính phương là một số vô tỉ.
Chứng minh:
Giả sử :$\sqrt{a}=\dfrac{m}{n}$
$\Longleftrightarrow an^2=m^2$
Điều này chỉ đúng khi $a$ là số chứng phương mà theo đề bài thì $a$ không phải là số chính phương nên
$\sqrt{a}=\dfrac{m}{n}$ là không tồn tại
Theo bổ đề,ta có:
$M$ là số hữu thỉ khi tất cả hai số $n-1$ và $n+1$ phải là số chính phương.
$\Longrightarrow (n+1)(n-1)$ cũng phải chính phương.
$\Longleftrightarrow n^2-1$ là một số chính phương (vô lí)
$\Longrightarrow \text{đpcm}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 03-01-2013 - 21:26

[chaugaihoangtuxubatu]

Vòng 2,bài 4:
Bổ đề:Căn bậc hai của một số không phải là một số chính phương là một số vô tỉ.
Chứng minh:
Giả sử :$\sqrt{a}=\dfrac{m}{n}$
$\Longleftrightarrow an^2=m^2$
Điều này chỉ đúng khi $a$ là số chứng phương mà theo đề bài thì $a$ không phải là số chính phương nên
$\sqrt{a}=\dfrac{m}{n}$ là không tồn tại
Theo bổ đề,ta có:
$M$ là số hữu thỉ khi tất cả hai số $n-1$ và $n+1$ phải là số chính phương.
$\Longrightarrow (n+1)(n-1)$ cũng phải chính phương.
$\Longleftrightarrow n^2-1$ là một số chính phương (vô lí)
$\Longrightarrow \text{đpcm}$

$n^2-1$ là 1 số CP tại sao lại vô lí? Hơn nữa, tại sao "M là số hữu tỉ khi cả hai số $n-1$ và $n+1$ là SCP" ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 03-01-2013 - 21:57

[Oral1020]

$n^2-1$ là 1 số CP tại sao lại vô lí? Hơn nữa, tại sao "M là số hữu tỉ khi cả hai số $n-1$ và $n+1$ là SCP" ?

Vì chỉ cần một trong hai số không phải là một số chính phương thì căn bậc hai của số đó sẽ là vô tỉ.Vậy thôi

[chaugaihoangtuxubatu]

Vì chỉ cần một trong hai số không phải là một số chính phương thì căn bậc hai của số đó sẽ là vô tỉ.Vậy thôi

Nếu cả hai đều không phải là SCP, thì chắc gì tích của nó không phải SCP? Ví dụ, 2 và 8 đều ko phải SCP nhưng $2.8=16$ là SCP. Hơn nữa, với $n=1$ thì rõ ràng $n^2-1=0$ vẫn là SCP.

[Oral1020]

Nếu cả hai đều không phải là SCP, thì chắc gì tích của nó không phải SCP? Ví dụ, 2 và 8 đều ko phải SCP nhưng $2.8=16$ là SCP. Hơn nữa, với $n=1$ thì rõ ràng $n^2-1=0$ vẫn là SCP.

Cái này thì ai cũng biết nhưng muốn $M$ là số hữu tỉ thì cả hai số phải là số chính phương.Nên tích của chúng cũng là số chính phương
Với $n=1$ thì $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

[chaugaihoangtuxubatu]

Cái này thì ai cũng biết nhưng muốn $M$ là số hữu tỉ thì cả hai số phải là số chính phương.Nên tích của chúng cũng là số chính phương
Với $n=1$ thì $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Uh, mình hiểu rồi.

[tientran1802]

Có anh chị nào giói tin học, up file pdf giùm em với!