Chủ đề này có 2 trả lời

[chaubee2001]

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=1$. Tìm $min$ của $F=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$
tks you =))

[chardhdmovies]

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=1$. Tìm $min$ của $F=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$
tks you =))

Gợi ý: Chứng minh $\sum{\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}}=\sum{\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}}$

[royal1534]

Gợi ý: Chứng minh $\sum{\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}}=\sum{\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}}$

Sử dụng chứng minh này và bđt AM-GM  ta có:

$2F=\sum \frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)} \geq \sum \frac{(x^2+y^2)^2}{2(x^2+y^2)(x+y)}=\sum \frac{x^2+y^2}{2(x+y)} \geq \sum \frac{(x+y)^2}{4(x+y)}=\sum \frac{x+y}{4}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}$

$\rightarrow F \geq \frac{1}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$