Đến nội dung

Hình ảnh

Xét một số nguyên dương n > 3 thì nó có thể được tách thành tối đa bao nhiêu hợp số khác nhau ?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Xét một số nguyên dương n > 3 thì nó có thể được tách thành tối đa bao nhiêu hợp số khác nhau   ?                                      


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huuhieuht: 22-02-2016 - 21:38

Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 


#2
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Ta sẽ đặt $f(n)$ là hàm số thỏa mãn với $f: \mathbb{N*} \to \mathbb{N}$ sao cho $f(n)$ là số hợp số tối đa mà $n$ có thể phân tích được.
Dễ thấy $f(1) = f(2) = f(3) = 0$
TH1. $n = 4t$, khi đó để ý là $4$ là hợp số bé nhất. Khi đó dễ thấy $f(n) = t$.
TH2. $n = 4t + 1$. Ta sẽ chứng minh quy nạp là $f(4t + 1) = t - 1$. Kiểm tra được $f(4.1 + 1) = 0, f(4.2 + 1) = 1$. Giả sử khẳng định đúng với $t - 1$, nghĩa là $f(4t - 3) = t - 2$. Ta sẽ chứng minh là $f(4t + 1) = t - 1$. Thật vậy, với $4t + 1 = 4 + (4t - 3)$ do đó $f(4t + 1) \ge 1 + f(4t - 3) = t - 1$. Mặt khác, để ý là hợp số bé nhất là $4$, do đó số cách phân tích ra hợp số luôn bé hơn $\left \lfloor \frac{4t + 1}{4} \right \rfloor$, hay nói cách khác $f(4t + 1) < t$. Do $f(4t + 1)$ nhận giá trị nguyên nên $f(4t + 1) \le t - 1$. Từ đó kết hợp ta có $f(4t + 1) = t - 1$
TH3. $n = 4t + 2$. Ta cũng sẽ chứng minh quy nạp là $f(4t + 2) = t - 1$. Kiểm tra được $f(6) = 1, f(10) = 2$. Giả sử mệnh đề đúng với $t - 1$. Ta sẽ chứng minh $f(4t + 2) = t - 1$. Có $4t + 2 = 4(t - 1) + 6 \implies f(4t + 2) \ge t - 1$. Mặt khác, lí luận tương tự trên, có điều phải chứng minh.
TH4. $n = 4t + 3$.Ta cũng sẽ chứng minh quy nạp $f(4t + 3) = t - 1 \; \forall t \ge 3$ và $f(7) = f(11) = 0$. Kiểm tra được $f(7) = f(11) = 0$. Ta kiểm tra được $f(15) = 2, f(19) = 3$. Giả sử khẳng định đúng với $t - 1 \ge 3$, nghĩa là $f(4t - 1) = t - 2$. Khi đó $4t + 3 = 4 + (4t - 1)$ hay $f(4t + 3) \ge t - 1$. Tương tự trên, ta cũng có điều phải chứng minh.
Để cho chắc chắn, ta sẽ đưa ra các ví dụ $4t = 4 + \cdots + 4$, $4t + 1 = 9 + 4.(t - 2)$, $4t + 2 = 4.(t - 2) + 6$, $4t + 3 = 6 + 9 + 4(t - 3)$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 23-02-2016 - 22:08


#3
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Khác nhau :v


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh