Chủ đề này có 24 trả lời

[013]

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng.

Kết quả có phải là 2;5;7 đúng không? Có bác nào biết cách làm không?

[12345678987654321123456789]

Kết quả có phải là 2;5;7 đúng không? Có bác nào biết cách làm không?

1a. Gọi $3$ số đó là $a,b,c$ với $a\leq b\leq c$

Ta có $abc=5(a+b+c)$ suy ra $abc$ chia hết cho $5$ mà $a,b,c$ đều là số nguyên tố nên có một số bằng $5$

Mặt khác từ $abc=5(a+b+c)$ ta có $\frac{1}{5}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

Vì $a\leq b\leq c$ nên $\left\{\begin{matrix} ab\geq a^2\\ bc\geq a^2\\ ca\geq a^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \frac{1}{ab}\leq \frac{1}{a^{2}}\\ \frac{1}{bc}\leq \frac{1}{a^{2}}\\ \frac{1}{ca}\leq \frac{1}{a^{2}} \end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{1}{5}\leq \frac{3}{a^2}\Leftrightarrow a^2\leq15\Leftrightarrow a\leq3\Rightarrow a\in\left \{ 2;3 \right \}$

Xét các trường hợp

+ $a=2;b=5\Rightarrow c=7$ (nhận)

+ $a=2;c=5\Rightarrow b=7$ (loại vì trái điều kiện)

+ $a=3;b=5\Rightarrow c=4$ (loại vì là hợp số)

+ $a=3;c=5\Rightarrow b=4$ (loại vì là hợp số)

Do đó chỉ có $(2;5;7)$ và các hoán vị thỏa mãn đề bài

[dothaipt00]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                         KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

            QUẢNG NGÃI                                                                           LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016

         ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                              Ngày thi: 24/02/2016

                                                                                                                         Môn thi : Toán

                                                                                                               Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn đẳng thức

$x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0$

c) Tìm các số $a,b,c$ biết $a=\frac{2b^2}{1+b^2};\;b=\frac{2c^2}{1+c^2};\;c=\frac{2a^2}{1+a^2}$

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\\ \sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{xy+2} \end{matrix}\right.$

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\geq 3$

b) Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng nếu $b$ là số trung bình cộng của $a$ và $c$ thì $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$

Bài 4: (5,0 điểm)

Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Vẽ hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $E$ bất kì trên cung nhỏ $AD$. Nối $E$ với $C$ cắt $OA$ tại $M$; nối $E$ với $B$ cắt $OD$ tại $N$.

a) Tính $CM.CE+BD^2$ theo $R$.

b) Chứng minh rằng tích $\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{DN}$ là một hằng số

c) Tìm vị trí của điểm $E$ để tổng $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{DN}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.

Bài 5: (3,0 điểm)

a) Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo). Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết $3.\widehat{A}+2.\widehat{B}=180^{\circ}$.

b) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ}$, $BC=2\sqrt3\;cm$. Bên trong tam giác này cho $2017$ điểm bất kì. Chứng minh rằng trong $2017$ điểm ấy luôn tìm được $169$ điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1\;cm$.

 

P/s : Mới thi hồi sáng, mình làm được cao nhất chắc chỉ có 15 điểm, các bạn chắc được cao hơn

[limitno2019]

1c bạn giải hay ghê ~~, 

còn câu $1b$ thì có cách xét nhé bạn 

bạn cũng đưa nó về dạng như xét $\Delta$, có điều khác như này , cộng vào 2 vế 1 số $\alpha$ bất kì, ta có :

$x^2+x(2-3y)+(2y^2-4y+3+\alpha)=\alpha$ 

ý tưởng ở đây là do $x,y$ nguyên nên cộng vào 1 số để tạo nhân tử như mình làm ở trên , khi đó $\Delta$ phải là số chính phương.

$\Delta= (2-3y)^2-4(2y^2-4y+3+\alpha)=y^2+4y-8-4\alpha$

để là số chính phương thì $\alpha =-3$,sau đó dễ rồi

nếu 

 

 

 

 

1c bạn giải hay ghê ~~, 

còn câu $1b$ thì có cách xét nhé bạn 

bạn cũng đưa nó về dạng như xét $\Delta$, có điều khác như này , cộng vào 2 vế 1 số $\alpha$ bất kì, ta có :

$x^2+x(2-3y)+(2y^2-4y+3+\alpha)=\alpha$ 

ý tưởng ở đây là do $x,y$ nguyên nên cộng vào 1 số để tạo nhân tử như mình làm ở trên , khi đó $\Delta$ phải là số chính phương.

$\Delta= (2-3y)^2-4(2y^2-4y+3+\alpha)=y^2+4y-8-4\alpha$

để là số chính phương thì $\alpha =-3$,sau đó dễ rồi

nếu alpalt =-3 thì sau đó làm sao bạn

[doraemon123]

Đây các bạn ơi.

https://dethi.violet...02690/same/show