Chủ đề này có 8 trả lời

[the man]

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                      ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

     BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                                NĂM HỌC 2015-2016

                                                           Thời gian làm bài : 210 phút

                                                              (Đợt 3, ngày 24/02/2016)

 

Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, luôn tồn tại duy nhất 2 số nguyên dương $m_k$ và $n_k$ sao cho 

$$(2+ \sqrt{3})^k=m_k+n_k\sqrt{3}$$

hơn nữa nếu $k$ là số lẻ thì $m_k -1$ là số chính phương.

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho

$$\sigma (n) =n^2-14n+9$$

với $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$.

Câu 3. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho 

$$P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$$

với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Câu 4. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và P,Q là hai điểm đẳng giác nằm trong tam giác. Gọi (X) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.  PB,PC lần lượt cắt CA,AB tại E,F.

       1/ Chứng minh rằng P nằm trên (X) khi và chỉ khi Q nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.

       2/ QB,QC cắt (O) lần lượt tại M,N khác B,C. Trên đường thẳng BC lấy các điểm S,T sao cho AS||PC, AT||PB. Gọi K,L lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác CMS và BNT. Gọi BK cắt CL tại D. AP cắt EF tại R. Cho P nằm trên (X), chứng minh rằng $\angle BDC = \angle BRC + \angle BAC$.

Câu 5. Trên mặt phẳng toạ độ ta xét tất cả các hình chữ nhật mà các đỉnh có hai tọa độ nguyên, các cạnh song song với các trục tọa độ và diện tích của mỗi hình chữ nhật đó là số có dạng $2^k$ với $k$ là số tự nhiên nào đó. Hỏi  có tồn tại hay không một cách tô màu tất cả các điểm với hai tọa độ nguyên bởi một trong hai màu Xanh, Đỏ sao cho không có hình chữ nhật nào trong số các hình xét trên có cả 4 đỉnh cùng màu ?

[the man]

 

 

 

Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, luôn tồn tại duy nhất 2 số nguyên dương $m_k$ và $n_k$ sao cho 

$$(2+ \sqrt{3})^k=m_k+n_k\sqrt{3}$$

hơn nữa nếu $k$ là số lẻ thì $m_k -1$ là số chính phương.

 

Phần chứng minh duy nhất có thể dùng Newton và một vài tính chất đơn giản

Chứng minh $m_{2i+1}-1$ là số chính phương

Đặt  $m_{2i+1}=a_{i}, n_{2i+1}=b_{i}$

Ta có

$$a_{i+1}+b_{i+1}\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2i+3}=(7+4\sqrt{3})(a_i+b_i\sqrt{3})=(7a_i+12b_i)+(4a_i+7b_i)\sqrt{3}$$

Theo cách xác định duy nhất ta có    $$\left\{\begin{matrix}a_{i+1}=7a_i+12b_i & & \\ b_{i+1}=4a_i+7b_i & & \end{matrix}\right.$$

Từ đó $$\left\{\begin{matrix}a_0=2,a_1=26 & & \\ a_{i+2}=14a_{i+1}-a_i & & \end{matrix}\right.$$

$$\rightarrow a_i=\frac{2+\sqrt{3}}{2}(7+4\sqrt{3})^i+\frac{2-\sqrt{3}}{2}(7-4\sqrt{3})^i$$

$$\rightarrow a_i-1=\left ( \frac{(2+\sqrt{3})^{i+1/2}-(2-\sqrt{3})^{i+1/2}}{\sqrt{2}} \right )^2$$

Đặt   $c_i=\frac{(2+\sqrt{3})^{i+1/2}-(2-\sqrt{3})^{i+1/2}}{\sqrt{2}}$

Biến đổi đơn giản ta có    $\left\{\begin{matrix}c_0=1,c_1=5 & & \\ c_{i+2}=4c_{i+1}-c_i & & \end{matrix}\right.$

Từ đó mọi số hạng của dãy $c_i$ đều nguyên. Từ đó ta có đpcm.

[superpower]

 

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                      ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

     BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                                NĂM HỌC 2015-2016

                                                           Thời gian làm bài : 210 phút

                                                              (Đợt 3, ngày 24/02/2016)

 

 

Câu 3. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho 

$$P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$$

với mọi $x \in \mathbb{R}$.

 

Giả sử bậc của $P(x)$ là $n$

Khi đó, ta có 

$2n-n = 2n+n =>n=0$

Do đó $P(x)= c$

Thay số vào, ta được $c^2+c+2 = c+3c =>P(x)=1; P(x)=2 $

[the man]

 

 

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho

$$\sigma (n) =n^2-14n+9$$

với $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$.

 

Bổ đề : $d(n)\leq \sqrt{3n}$  ($d(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$)

Chứng minh:

Xét phân tích tiêu chuẩn của $n$

$$n=p_{1}^{\alpha _1}p_{2}^{\alpha _2}...p_{k}^{\alpha _k}$$

(với $p_1<p_1<...<p_k$)

$$d(n)=(\alpha _1+1)(\alpha _2+1)...(\alpha _k+1)$$

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 

$3.p_1^{\alpha _1}\geq 3.3^{\alpha _1}\geq (\alpha +1)^2, p_i^{\alpha _i}\geq 5^{\alpha _i}\geq (\alpha _i+1)^2 , i=2,3,...,k$

$$\rightarrow 3n\geq (d(n))^2$$

 

Quay lại bài toán

Ta có  $n^2-14n+9=\sigma (n)\leq n+1+(d(n)-2)n\leq n+1+n(\sqrt{3n}-2)$

           $\rightarrow n^2-\sqrt{3}.n\sqrt{n}-13n+8\leq 0\rightarrow n<25$

Mặt khác  $n^2-14n+9>0\rightarrow n\geq 14\rightarrow n\in \left \{ 15,17,19,21,23,25 \right \}$

Nhận thấy $n=15$ thỏa mãn bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 24-02-2016 - 20:11

[the man]

Giả sử bậc của $P(x)$ là $n$

Khi đó, ta có 

$2n-n = 2n+n =>n=0$

Do đó $P(x)= c$

Thay số vào, ta được $c^2+c+2 = c+3c =>P(x)=1; P(x)=2 $

ở đâu ra cái này vậy

[quanghung86]

Gợi ý cho bài hình 

 

http://diendantoanho...ằng-ad-perp-st/

 

và bài Serbia 2008 http://artofproblems...h199935p1099544

 

Mọi người hãy cùng tham gia giải các câu còn lại.

[viet nam in my heart]

 

Câu 3. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho 

$$P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$$

với mọi $x \in \mathbb{R}$.

 

 

Giả sử bậc của $P(x)$ là $n$

Khi đó, ta có 

$2n-n = 2n+n =>n=0$

Do đó $P(x)= c$

Thay số vào, ta được $c^2+c+2 = c+3c =>P(x)=1; P(x)=2 $

Xét bậc của hai vế bị sai dẫn đến lời giải sai. Sau đây là lời giải của mình: 

TH1: $P(x)$ khác đa thức hằng

Giả sử đa thức $P(x)$ cần tìm có dạng : $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0(a_n \neq 0)$

-Nếu trong các hệ số $a_{n-1},..,a_1,a_0$ chỉ có: $a_0 \neq 0$

Khi đó $P(x)=a_nx^n+a_0$

Tức là : $(a_nx^n+a_0)^2+(a_n(-x)^n+a_0)+2=(a_nx^{2n}+a_0)+3(a_nx^n+a_0)$

+) n chẵn

Khi đó $(a_nx^n+a_0)^2+(a_nx^n+a_0)+2=(a_nx^{2n}+a_0)+3(a_nx^n+a_0)$

Cân bằng hệ số $2$ vế ta thu được: $a_n^2=a_n,2a_na_0+a_n=3a_n,a_0^2+a_0+2=4a_0$

Giải hệ này kết hợp với $(a_n \neq 0)$ ta thu được: $P(x)=x^n+1$ với $n$ là một số nguyên dương chẵn

+) n lẻ

Khi đó $(a_nx^n+a_0)^2+(-a_nx^n+a_0)+2=(a_nx^{2n}+a_0)+3(a_nx^n+a_0)$

Cân bằng hệ số $2$ vế ta thu được: $a_n^2=a_n,2a_na_0-a_n=3a_n,a_0^2+a_0+2=4a_0$

Giải hệ này kết hợp với $(a_n \neq 0)$ ta thu được: $P(x)=x^n+2$ với $n$ là một số nguyên dương lẻ

-Nếu một trong các hệ số $a_{n-1},..,a_1$ khác không

Gọi $0<k<n$ là số lớn nhất thỏa mãn $a_k \neq 0$.

Suy ra $P(x)=a_nx^n+a_kx^k+...+a_1x+a_0$

Khi đó ta có: $P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$

Cân bằng hệ số $x^{n+k}$ ở hai vế thì dễ thấy chỉ có $P^2(x)$ là đa thức có xuất hiện thừa số $x^{n+k}$

Điều này cho thấy hệ số của $x^{n+k}$ sau khi khai triển $P^2(x)$ phải bằng $0$. 

Hay $a_na_k=0$ (vô lý do cả $a_n,a_k \neq 0$)

-Nếu tất các hệ số $a_{n-1},..,a_1,a_0$ đều bằng không

Khi đó $P(x)=a_nx^n$

Suy ra $a_{n}^2x^{2n}+a_n(-x)^n+2=a_nx^2n+3a_nx^n$ (vô lý do hệ số tự do của hai bên không bằng nhau)

TH2: $P(x)$ là đa thức hằng.

Khi đó $P(x) \equiv a \in \mathbb{R}$ 

Từ $P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$ thì $a^2+a+2=a+3a \Leftrightarrow a=1$ hoặc $a=2$

Kết hợp những trường hợp trên lại ta thu được các kết quả sau:

1. $P(x)=x^n+2$ với $n$ là một số nguyên dương lẻ
2. $P(x)=x^n+1$ với $n$ là một số nguyên dương chẵn
3. $P(x) \equiv 2$
4. $P(x) \equiv 1$

​

Tự nhiên hôm nay có hứng làm đa thức. Mọi người kiểm tra hộ em xem có sai chỗ nào không ạ. Bài tổ hợp khó quá có ai có đáp án cho em xin với ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 09-04-2016 - 15:23

[A piece of life]

Câu tổ đáp án là tồn tại. Cách tô màu, em ghi thủ công thế này cho nhanh ạ : 

X Đ Đ X Đ Đ ...

Đ X Đ Đ X Đ ...

Đ Đ X Đ Đ X ...

...

Chứng minh tương đối dễ dàng.

[thinhrost1]

Câu tổ đáp án là tồn tại. Cách tô màu, em ghi thủ công thế này cho nhanh ạ : 

X Đ Đ X Đ Đ ...

Đ X Đ Đ X Đ ...

Đ Đ X Đ Đ X ...

...

Chứng minh tương đối dễ dàng.

Phiền bạn ghi phần chứng minh được không ?