Chủ đề này có 1 trả lời

[Gachdptrai12]

cho x^3-x thuộc Z,x^4-x thuộc Z chứng minh x thuộc Z

[Visitor]

cho x^3-x thuộc Z,x^4-x thuộc Z chứng minh x thuộc Z

Bài này thật vi diệu :v 

Giả thiết suy ra $\frac{x^4-x}{x^3-x} \in \mathbb{Q}\Leftrightarrow \frac{x^3-1}{x^2-1}\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow \frac{x^2+x+1}{x+1}\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow \frac{x^2}{x+1}=b\in\mathbb{Q}$

Suy ra $(x^3-x).\frac{x+1}{x^2}= \frac{x^3+x^2-x-1}{x}=c\in\mathbb{Q}$

 đặt $x^3-x=a$ thì $\frac{a+x^2-1}{x}=c\Rightarrow a+x^2-1=cx$

                                                 mà $\frac{x^2}{x+1}= b\Rightarrow x^2=bx+b$

 

Trừ theo vế ta được $a-1=(c-b)x-b$

Dễ thấy $b\neq c$ nên ta sẽ có $x\in\mathbb{Q}$

Ta xét phương trình hệ số nguyên $t^3-t-(x^3-x)=0$ có $x$ là nghiệm hữu tỉ nên nó cũng là nghiệm nguyên.

$đpcm$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 26-02-2016 - 00:47