Chủ đề này có 1 trả lời

[Yukimaru Tohru]

Cho x, y > 0 thỏa mãn $xy \leq y - 1$. Tình giá trị lớn nhất của $P = \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} - xy + 3y^{2}}} - \frac{x - 2y}{6(x + y)}$

Anh chị giải bài này bằng đạo hàm giúp em ạ!

 

[quangtq1998]

Cho x, y > 0 thỏa mãn $xy \leq y - 1$. Tình giá trị lớn nhất của $P = \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} - xy + 3y^{2}}} - \frac{x - 2y}{6(x + y)}$
Anh chị giải bài này bằng đạo hàm giúp em ạ!

$xy \leq y-1 \Leftrightarrow \frac{x}{y} \leq x(1-x) \leq \frac{1}{4} $
Đặt $t = \frac{x}{y} $

$P = \frac{ t+1}{\sqrt{t^2-t+3} }- \frac{t-2}{6(t+1)} $

Xét $ f(t)  = \frac{ t+1}{\sqrt{t^2-t+3} }- \frac{t-2}{6(t+1)} $
 
       
  $f'(t) = \frac{7-3t}{2 (t^2-t+3)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{2(t+1)^2} $
 
Đánh giá :
  $ 0 < t \leq \frac{1}{4} \Rightarrow  7 -3t \ge \frac{25}{4}  ;  t^2 -t+3 \leq 3  \Rightarrow  \frac{7-3t}{2 (t^2-t+3)^{\frac{3}{2}}} > 0.6$  và $0.3 < \frac{1}{2(t+1)^2} \leq 0.5 $ $\Rightarrow f'(t) >0 $
$\Rightarrow $ Hàm đồng biến $ \Rightarrow f(t) \leq f(\frac{1}{4}) $ 
Hay $P \leq \frac{7+10\sqrt{5}}{30} $ Dấu$ "=" $xảy ra chả hạn$ x=1, y=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 07-03-2016 - 00:19