Câu 5 (trong đề).
$\sum \frac{a^{2}}{1+2bc}\geq \frac{3}{5}$
#1
Đã gửi 08-03-2016 - 21:18
#2
Đã gửi 08-03-2016 - 21:23
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên n để n4 + 3n3 +3n2 là số chính phương.
#3
Đã gửi 08-03-2016 - 23:02
Câu 5 (trong đề).
Vì $a^2+b^2+c^2=1$ nên ta viết lại bđt cần chứng minh thành:
$\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2+2bc} \geq \frac{3}{5}$
$\leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2} \geq \frac{3}{5}$
Sử dụng bđt AM-GM ta có:
$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2} \geq \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$
Ta quy bài toán về chứng minh:
$\sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)} \geq \frac{3}{5} (1)$
Để đơn giản ta đặt $(a^2,b^2,c^2)=(x,y,z)$
$(1) \leftrightarrow \sum \frac{x}{x+2(y+z)} \geq \frac{3}{5}$
Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:
$VT=\sum \frac{x}{x+2(y+z)}=\sum \frac{x^2}{x^2+2xy+2xz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4(xy+yz+zx)}$
Vậy ta cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4(xy+yz+zx)} \geq \frac{3}{5}$
Thực hiện phép khai triển .BĐT trên $\leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 0$:Đúng
Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 08-03-2016 - 23:02
- tpdtthltvp và tquangmh thích
#4
Đã gửi 08-03-2016 - 23:15
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên n để n4 + 3n3 +3n2 là số chính phương.
Đặt $A=n^4+3n^3+3n^2$
$\Rightarrow 4A=4n^4+12n^3+12n^2$
Nếu $n=0 \Rightarrow A=0$:Là số chính phương
Với $n \neq 0$
Ta có $4n^4+13n^2+12n^3+6n+1>4n^4+12n^3+12n^2>4n^4+12n^3+9n^2$
$\Rightarrow (2n^2+3n+1)^2>4A>(2n^2+3n)^2$
$\Rightarrow 4A$ không thể là số chính phương
$\Rightarrow A$ không là số chính phương
Vậy với $n=0$ thì $A=n^4+3n^3+3n^2$ là số chính phương
#6
Đã gửi 08-05-2021 - 16:57
Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ca}+\frac{c^2}{1+2ab}=\frac{a^4}{a^2+2a^2bc}+\frac{b^4}{b^2+2ab^2c}+\frac{c^4}{1+2abc^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)+2abc(a+b+c)}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)+2.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}=\frac{3}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 16:58
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh