Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{9}{(a+b)^{2}}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{13}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
manh nguyen truc

manh nguyen truc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

$cho a;b;c> 0/    a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$    

Chứng minh:$\sum \sqrt{\frac{9}{(a+b)^{2}}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{13}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 09-03-2016 - 22:17


#2
quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
Áp dụng C-S $\sqrt{\frac{9}{(a+b)^{2}}+c^{2}}\sqrt{\frac{9}{4}+1}\geqslant \frac{9}{2(a+b)}+c$
$\Rightarrow P\sqrt{\frac{13}{4}}\geqslant \frac{9}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})+a+b+c\geqslant \frac{81}{4(a+b+c)}+a+b+c\geqslant \frac{45}{4(a+b+c)}+6\geqslant \frac{39}{4}$($a+b+c\leqslant 3$)
$\Rightarrow P\geqslant \frac{3\sqrt{13}}{2}$


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng Mincopxki, ta được: $\sum_{cyc}\sqrt{\frac{9}{(a+b)^2}+c^2}\geqslant \sqrt{(\sum_{cyc}\frac{3}{a+b})^2+(a+b+c)^2}\geqslant \sqrt{(\frac{3.9}{2(a+b+c)})^2+(a+b+c)^2}= \sqrt{\frac{729}{4(a+b+c)^2}+(a+b+c)^2}$

Đặt $a+b+c=t$ thì dễ có: $0<t\leqslant 3$ 

Ta cần chứng minh: $\sqrt{\frac{729}{4t^2}+t^2}\geqslant \frac{3\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow \frac{729}{4t^2}+t^2\geqslant \frac{117}{4}\Leftrightarrow \frac{(t+3)(t-3)(2t-9)(2t+9)}{4t^2}\geqslant 0$*đúng*

Đẳng thức xảy ra khi t = 3 hay a = b = c = 1  

 

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh