3b) Xét phương trình $x^2-mxy+y^2+1=0$ (*)
Gọi $X,Y$ là cặp số thỏa đề bài để sao cho $x_0+y_0$ nhỏ nhất ($x_0 \le y_0$)
Xét phương trình trên ẩn $y$ .
Vì $x_0,y_0$ thỏa mãn đề bài nên $y_0$ là một nghiệm của (*) . Gọi nghiệm còn lại là $y_1$
Ta có theo hệ thức Vieta :
$y_1+y_0=mx,y_1.y_0=x^2+1$
Dễ thấy $y_0 \in \mathbb{Z}$
Vì $x_0+y_0$ nhỏ nhất nên $x_0+y_0 \le x_0+y_1 \leftrightarrow y_0 \ge y_1$
Suy ra $y_1 \ge y_0 \ge x_0$
Trường hợp 1 : Xét $x_0=y_0$
Thì ta có $m=\frac{x^2+y^2+1}{xy}=2+\frac{1}{x_0y_0}$ từ đó suy ra $x_0=y_0=1$ và $m=3$
Trường hợp 2 : $y_0=y_1$
Thì ta có $y_1y_0=y_0^2=x_0^2+1$ từ đó suy ra $x_0,y_0$
$x_0=0,y_0=1$ nhưng thế vào bài thì không có $m$ thỏa mãn
Trường hợp 3 : $y_1>y_0>x_0$
Suy ra $\begin{cases} &y_0 \ge x_0+1&\\&y_1 \ge x_0+2 \end{cases}$
Ta có $y_0y_1=x_0^2+1 \ge (x_0+1)(x_0+2)$ nhưng bất phương trình này đưa ta đến điều vô lí
Vậy $m=3$ là thỏa đề bài
Câu này trâu quá buộc mình phải dùng Vieta Jumping
Đề thi học sinh giỏi Toán Thanh Hóa 2015-2016
#21
Đã gửi 12-03-2016 - 13:27
- nhivanle, mathstu, linhtrang1602 và 5 người khác yêu thích
#22
Đã gửi 12-03-2016 - 13:28
câu 1
cho biểu thức $A=(\frac{a-3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3}-\frac{a+3\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3})(\sqrt{a}-\frac{9}{\sqrt{a}})$ với a>0 , $a\neq 9$
a, Rút gọn A
b, tinh GTNN của biểu thức M=A+a
câu 2
a, Giải pt: $\frac{9}{x^{2}}+\frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}}=1$
b, Giải hpt : $\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=4(4x-y) & & \\ y^{2}-5x^{2}=4& & \end{matrix}\right.$
câu 3
a, tìm các nghiệm nguyên (x;y) của pt : $54x^{3}+1=y^{3}$
b, tìm các giá trị nguyên dương của m để pt : $x^{2}-mxy+y^{2}+1=0$ có giá trị nguyên dương
câu 4 : cho đường tròn tâm O bán kính R. tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn. B ,C cố định . các đường cao AD , BE , CF của tam giác ABC đồng quy tại H. đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của BHC cắt AB , AC lần lượt tại các điểm M va N
a, chứng minh tam giác AMN cân
b, xác định vị trí của A để chu vi tam giác DEF lớn nhất
c, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K . chứng minh đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi
câu 5 mk chưa làm đến nên không biết đề nó thế nào hết
- tpdtthltvp yêu thích
#23
Đã gửi 12-03-2016 - 13:40
#24
Đã gửi 12-03-2016 - 18:03
Vieta Jumping là gì v ban
#25
Đã gửi 12-03-2016 - 19:33
3b) Xét phương trình $x^2-mxy+y^2+1=0$ (*)
Gọi $X,Y$ là cặp số thỏa đề bài để sao cho $x_0+y_0$ nhỏ nhất ($x_0 \le y_0$)
Xét phương trình trên ẩn $y$ .
Vì $x_0,y_0$ thỏa mãn đề bài nên $y_0$ là một nghiệm của (*) . Gọi nghiệm còn lại là $y_1$
Ta có theo hệ thức Vieta :
$y_1+y_0=mx,y_1.y_0=x^2+1$
Dễ thấy $y_0 \in \mathbb{Z}$
Vì $x_0+y_0$ nhỏ nhất nên $x_0+y_0 \le x_0+y_1 \leftrightarrow y_0 \ge y_1$
Suy ra $y_1 \ge y_0 \ge x_0$
Trường hợp 1 : Xét $x_0=y_0$
Thì ta có $m=\frac{x^2+y^2+1}{xy}=2+\frac{1}{x_0y_0}$ từ đó suy ra $x_0=y_0=1$ và $m=3$
Trường hợp 2 : $y_0=y_1$
Thì ta có $y_1y_0=y_0^2=x_0^2+1$ từ đó suy ra $x_0,y_0$
$x_0=0,y_0=1$ nhưng thế vào bài thì không có $m$ thỏa mãn
Trường hợp 3 : $y_1>y_0>x_0$
Suy ra $\begin{cases} &y_0 \ge x_0+1&\\&y_1 \ge x_0+2 \end{cases}$
Ta có $y_0y_1=x_0^2+1 \ge (x_0+1)(x_0+2)$ nhưng bất phương trình này đưa ta đến điều vô lí
Vậy $m=3$ là thỏa đề bài
Câu này trâu quá buộc mình phải dùng Vieta Jumping
Vieta Jumping là gì vậy ạ, nghe tên lạ kinh
Bác làm được hình ko, giúp em đi, em bỏ nguyên 2 câu hình liền
- Minhmai145 yêu thích
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...."
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
#26
Đã gửi 12-03-2016 - 19:47
đề khó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhmai145: 12-03-2016 - 19:58
#27
Đã gửi 12-03-2016 - 22:01
đề khó vật vã, thảm quá
Có được dùng máy tính cầm tay ko bạn ?
"Khi tôi đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói tôi ngu ngốc chỉ có bản thân tôi mà thôi"-Roronoa Zoro
#28
Đã gửi 12-03-2016 - 22:35
Có được dùng máy tính cầm tay ko bạn ?
ko đâu bn vậy ms đắng
Thất bại là mẹ thành công.
#29
Đã gửi 12-03-2016 - 22:59
Câu 2 (4.0 điểm )
a) Giải phương trình $\frac{9}{x^{2}}+\frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}}=1$
câu này mình làm cách này ko biết có vấn đề gì ko
ĐK:$x\neq 0$
Do $x\neq 0$ ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}}$ cho $\left | x \right |$ được $\frac{\pm2 }{\sqrt{2+\frac{9}{x^{2}}}}$
Khi đó pt được viết lại:
$\frac{9}{x^{2}}\pm\frac{2}{\sqrt{2+\frac{9}{x^{2}}}}=1\Leftrightarrow \frac{9}{x^{2}}+2\pm\frac{2}{\sqrt{2+\frac{9}{x^{2}}}}=3$
Đặt $\frac{9}{x^{2}}+2=a$ pt được viết lại:
$a\pm \frac{2}{\sqrt{a}}=3\Leftrightarrow a\sqrt{a}-3\sqrt{a}\pm 2=0$
Tới đây chia trường hợp $x>0$ hoặc $x<0$ ta thu được nghiệm duy nhất của pt
- Element hero Neos và ThuThao36 thích
Thất bại là mẹ thành công.
#30
Đã gửi 12-03-2016 - 23:04
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhtrang1602: 12-03-2016 - 23:06
Thất bại là mẹ thành công.
#31
Đã gửi 13-03-2016 - 07:30
ai làm hình đi ạ
#32
Đã gửi 13-03-2016 - 08:28
câu này mình làm cách này ko biết có vấn đề gì ko
ĐK:$x\neq 0$
Do $x\neq 0$ ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}}$ cho $\left | x \right |$ được $\frac{\pm2 }{\sqrt{2+\frac{9}{x^{2}}}}$
Khi đó pt được viết lại:
$\frac{9}{x^{2}}\pm\frac{2}{\sqrt{2+\frac{9}{x^{2}}}}=1\Leftrightarrow \frac{9}{x^{2}}+2\pm\frac{2}{\sqrt{2+\frac{9}{x^{2}}}}=3$
Đặt $\frac{9}{x^{2}}+2=a$ pt được viết lại:
$a\pm \frac{2}{\sqrt{a}}=3\Leftrightarrow a\sqrt{a}-3\sqrt{a}\pm 2=0$
Tới đây chia trường hợp $x>0$ hoặc $x<0$ ta thu được nghiệm duy nhất của pt
Tớ làm giống cậu
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...."
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
#33
Đã gửi 13-03-2016 - 12:24
b, tìm các giá trị nguyên dương của m để pt : $x^{2}-mxy+y^{2}+1=0$ có giá trị nguyên dươngVieta Jumping đây chăng
Ở đây Juliel vẫn chưa định nghĩa Vieta Jumping là gì ? Mình cũng chưa tìm ra tài liệu nói kĩ hơn về cái này
#35
Đã gửi 13-03-2016 - 12:35
#36
Đã gửi 13-03-2016 - 13:57
Cái này xem qua rồi (có cả vietsub) . Nhưng không phải
Đấy là pt điôphăng bậc hai.
#37
Đã gửi 13-03-2016 - 17:00
a) Chứng minh tam giác AMN cân.
b) Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF lớn nhất.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K (K$\neq$A). Chứng minh đường thẳng HK luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi.
câu hình mình làm khá dài nên bn nào có cách khác thì cứ post lên cho mọi người cùng xem nhé
mình xin nói ý chính thôi
a/ mọi người tự giải nha
b/ C/m:$OA\perp EF;OB\perp FD;OC\perp ED$
Từ đó tính $S\Delta ABC$ theo chu vi $\Delta DEF$
=>chu vi $\Delta DEF$ lớn nhất <=> $S\Delta ABC$ lớn nhất <=> A là điểm chính giữa cung BC lớn
c/ Gọi P là giao của BE với MK
Q là giao của CF với NK
C/m được tứ giác HQKP là hình bình hành
=>HK đi qua trung điểm PQ
C/m: $PQ\parallel BC$
=> HK đi qua trung điểm BC cố định
Thất bại là mẹ thành công.
#38
Đã gửi 13-03-2016 - 18:37
câu b hình tính Sabc theo chu vi DEF thế nào ???
#39
Đã gửi 13-03-2016 - 21:47
Lời giải:
Ta có: $\sum \frac{2a^5+3b^5}{ab} \geq 15(a^3+b^3+c^3-2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^5+3b^5}{ab} -\sum ab^2 \geq 15(\sum a^3 -3 \sum ab^2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(2a^3+4a^b+6ab^2+3b^3)}{ab} \geq 15 \sum (a+2b)(a-b)^2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^4(2a+3b)}{ab} \geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b,c$ dương)Vậy: Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$Nguồn: Facebook
có cách nào khác không bạn ?
#40
Đã gửi 14-03-2016 - 08:02
Vieta Jumping là gì vậy ạ, nghe tên lạ kinh
Bác làm được hình ko, giúp em đi, em bỏ nguyên 2 câu hình liền
Câu hình b) Không khó lắm đâu bạn ạ, còn là một bài rất quen thuộc đấy
Mình sẽ tóm tắt các bước giải
+) Chứng minh $OA \bot EF$ (vẽ tiếp tuyến tại A để C/m)
+) Vì $OA \bot EF => S_{OAEF} = ...$
Tương tự $S_{OBFD} = ...$
$S_{OECD} = ...$
Vậy $S_{ABCD} = \frac{R}{2} . (EF+FD+DE)$
Vì R cố định nên EF + FD + DE lớn nhất khi $S_{ABCD}$ lớn nhất <=> A nằm ở ...
- Minhmai145 và ThuThao36 thích
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh