cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$
#1
Đã gửi 13-03-2016 - 17:30
#2
Đã gửi 13-03-2016 - 18:10
Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);
Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;
khi đó: đặt k= căn (3t+1) => k>=2 (do t>=1) .Từ đây:
t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;
hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);
<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:
(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;
Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.
Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.
Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).
Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu
#3
Đã gửi 13-03-2016 - 18:58
cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2ab$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$
ta có $P =\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} +\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$ $\geq \frac{(a+b)^2}{a+b} +\frac{1}{\frac{(1+a+1+b)}{2}}=a+b+\frac{2}{a+b+2}$
ta lại có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$ => $a+b \geq 2$
Vậy $P \geq \frac{a+b+2}{8}+\frac{2}{a+b+2}+7*\frac{a+b}{8}-\frac{1}{4} \geq 2\sqrt{\frac{a+b+2}{8}*\frac{2}{a+b+2}}+7*\frac{2}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$
Vậy Min $P=\frac{5}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 13-03-2016 - 22:26
Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường
Roronoa Zoro- One piece
Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065
#4
Đã gửi 13-03-2016 - 19:00
Sau khi thay a+b=2ab vào P ta rút gọn được P=2t+1/căn(1+3t). (t=ab);
Ta có a+b>=2 căn(ab) hay 2*ab >= 2 căn(ab) <=> ab>=1 hay t>=1;
khi đó: đặt k= căn (3t+1) => k>=2 (do t>=1) .Từ đây:
t= (k^2-1)/3 => P= 2 *(k^2-1)/3+ 1/k;
hay P= 2(k^2)/3+ (1/k) - (2/3);
<=> P= ((k^2)/16+1/(2k)+1/(2k)) + 29*(k^2)/48 - (2/3).
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số ta có:
(k^2)/16 + 1/(2k)+ (1/2k)>= 3/4;
Kết hợp k>=2. Từ đây => P>= 3/4 + (29*4)/48 - (2/3) =5/2.
Vậy min P =5/2. Dấu'=' xảy ra <=> k=2 <=> t=1 <=> a=b=1.
Nhận xét: Bài này không khó lắm. Mấu chốt là phải dự đoán điểm rơi cô si( bạn có thể tham khảo trên mạng).
Nếu thấy hay. Mình có 1 đề nghị nho nhỏ là: bạn chỉ mình cách gõ Latex đc ko, minh doc roi ma chi hieu gi ca. minh cam on nhieu
dùng chức năng $Fx$ trong hộp soạn thảo từ đó tự mày mò là được
Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường
Roronoa Zoro- One piece
Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065
#5
Đã gửi 13-03-2016 - 19:04
ma hen ra cai chi chi o, chu kho doc lam
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
min,maxM=$\frac{x^{2}-8x+25}{x^{2}-6x+25}$Bắt đầu bởi thuyyyy, 26-12-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho $a+ b >1$ . CM $a^4 +b^4> \frac{1}{8}$Bắt đầu bởi Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$Bắt đầu bởi Anna lee, 18-08-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN, GTLN của PBắt đầu bởi chcd, 03-03-2022 bất đẳng thức và cực tri |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$Bắt đầu bởi KietLW9, 28-06-2021 bất đẳng thức và cực tri |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh