SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18-3-2016
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT
Câu 1 : (5 điểm)
a) Tính tổng : $A=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}$
b) Tìm các giá trị nguyên $x,y$ thỏa mãn đẳng thức : $(y+2)x^2+1=y^3$
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình $x^2+ax+b+1=0$ với $a,b$ là tham số . Tìm giá trị của $a,b$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn :
$\begin{cases} &x_1-x_2=3&\\&x_1^3-x_2^3=9& \end{cases}$
Câu 3 : (3 điểm)
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{b+a-c}$
Câu 4 : (9 điểm)
1 . Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $BC=2R$ và điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ ($A$ không trùng với $B,C$). Đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn tại điểm $K$ ($K \ne A$). Hạ $AH$ vuông góc với $BC$
a) Đặt $AH=x$. Tính diện tích $S$ của tam giác $AHK$ theo $R$ và $x$. Tìm $x$ sao cho $S$ đạt giá trị lớn nhất
b) Tính $\widehat{B}$ của $\triangle{ABC}$ biết rằng $\frac{AH}{HK}=\sqrt{\frac{3}{5}}$
2. Một đường thẳng $d$ thay đổi cắt hai cạnh $Ox,Oy$ của một góc nhọn $xOy$ lần lượt tại hai điểm $M,N$ nhưng luôn thỏa mãn hệ thức $\frac{1}{OM}+\frac{2}{ON}=1$. Chứng tỏ rằng đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định năm học 2015-2016
#1
Đã gửi 18-03-2016 - 18:41
- Zaraki, anhtukhon1, marcoreus101 và 11 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 18-03-2016 - 18:51
Chọn bài dễ nhất :V
$(y+2)x^{2}-y^{3}-8=-9\Rightarrow x^{2}(y+2)-(y+2)(y^{2}-2y+4)\Rightarrow (y+2)(x^{2}-(y-1)^{2}-3)\Rightarrow (y+2)((x-y+1)(x+y-1)-3)=-9\Rightarrow ...$
$1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}=\frac{k^{2}+(k+1)^{2}+k^{2}(k+1)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}=\frac{(k(k+1)+1)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}\Rightarrow \frac{k(k+1)+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Rightarrow A=2015+\frac{1}{2}-\frac{1}{2016}=...$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 18-03-2016 - 18:58
- I Love MC, PlanBbyFESN, linhtrang1602 và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 18-03-2016 - 20:00
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18-3-2016
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT
Câu 3 : (3 điểm)
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{b+a-c}$
Đặt $\left\{\begin{matrix} b+c-a=x>0\\ c+a-b=y>0\\ a+b-c=z>0 \end{matrix}\right.$
Suy ra $\left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{2}=c\\ \frac{z+x}{2}=b\\ \frac{y+z}{2}=a \end{matrix}\right.$
Khi đó có $A=\frac{2(y+z)}{x}+\frac{9(z+x)}{2y}+\frac{8(x+y)}{z}=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8z}{x})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})$
Áp dụng $AM-GM$ có $A \geq \sqrt{\frac{2y}{x}.\frac{9x}{2y}}+\sqrt{\frac{2z}{x}.\frac{8z}{x}}+\sqrt{\frac{9z}{2y}.\frac{8y}{z}}=3+4+6=13$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2y}{x}=\frac{9x}{2y}\\ \frac{2z}{x}=\frac{8z}{x}\\ \frac{9z}{2y}=\frac{8y}{z} \end{matrix}\right.$
Hay $...$ (tự tìm)
Vậy $...$
- anhtukhon1, I Love MC, PlanBbyFESN và 5 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 18-03-2016 - 20:13
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18-3-2016
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình $x^2+ax+b+1=0$ với $a,b$ là tham số . Tìm giá trị của $a,b$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn :
$\begin{cases} &x_1-x_2=3&\\&x_1^3-x_2^3=9& \end{cases}$
Áp dụng hệ thức $Vièt$ có $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-a\\ x_1x_2=b+1 \end{matrix}\right.$
Ta có $9=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)^3+3x_1x_2(x_1-x_2)=3^3+3.3x_1x_2=27+9x_1x_2$
Suy ra $x_1x_2=\frac{9-27}{9}=-2$
Do đó $b+1=-2\Rightarrow b=-3$
Có $x_1-x_2=3\Rightarrow x_1=x_2+3$
Mà $x_1x_2=-3$
Do đó $x_2(x_2+3)=-2\Rightarrow x_2^2+3x_2+2=0\Rightarrow x_2=-1$ hoặc $x_2=-2$
Thay vào tìm ra $x_1$ rồi tính $a$ theo $a=-(x_1+x_2)$
- anhtukhon1, I Love MC, tpdtthltvp và 4 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 18-03-2016 - 20:25
câu 4.1 hình đã có tại đây http://diendantoanho...ng-2-2011-2012/
- Element hero Neos và Unstopable thích
#6
Đã gửi 18-03-2016 - 21:01
Câu 4 : (9 điểm)
2. Một đường thẳng $d$ thay đổi cắt hai cạnh $Ox,Oy$ của một góc nhọn $xOy$ lần lượt tại hai điểm $M,N$ nhưng luôn thỏa mãn hệ thức $\frac{1}{OM}+\frac{2}{ON}=1$. Chứng tỏ rằng đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.
Trước hết ta có: $\dfrac{1}{OM}<1$ nên $OM>1$. Tương tự $ON>2$
Do đó trên đoạn thẳng $OM$ ta có thể lấy điểm $S$ sao cho $OS=1$. Qua $S$ kẻ đường thẳng song song với $Oy$ cắt $MN$ tại $P$
Do $S$ nằm giữa $M$ và $O$ nên $P$ nằm giữa $M$ và $N$. Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $Ox$ cắt $Oy$ tại $T$
Do $P$ nằm giữa $M$ và $N$ nên $T$ nằm giữa $O$ và $N$.
Áp dụng định lý $Thales$ ta có:$\dfrac{OT}{ON}=\dfrac{MP}{MN}=1-\dfrac{NP}{NM}=1-\dfrac{OS}{OM}=1-\dfrac{1}{OM}=\dfrac{2}{ON}$
Suy ra $OT=2$
Do $OT=2,OS=1$ và $S,T$ nằm trên $Ox,Oy$ cố định nên cả $S,T$ đều cố định
Do $P$ là giao điểm của đường thẳng qua $S$ song song với $Oy$ và đường thẳng qua $T$ song song với $Ox$ nên $P$ cố định
Vậy $d$ đi qua điểm $P$ cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 18-03-2016 - 21:04
- chmod, anhtukhon1, I Love MC và 7 người khác yêu thích
#7
Đã gửi 20-03-2016 - 13:31
Trước hết ta có: $\dfrac{1}{OM}<1$ nên $OM>1$. Tương tự $ON>2$
Do đó trên đoạn thẳng $OM$ ta có thể lấy điểm $S$ sao cho $OS=1$. Qua $S$ kẻ đường thẳng song song với $Oy$ cắt $MN$ tại $P$
Do $S$ nằm giữa $M$ và $O$ nên $P$ nằm giữa $M$ và $N$. Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $Ox$ cắt $Oy$ tại $T$
Do $P$ nằm giữa $M$ và $N$ nên $T$ nằm giữa $O$ và $N$.
Áp dụng định lý $Thales$ ta có:$\dfrac{OT}{ON}=\dfrac{MP}{MN}=1-\dfrac{NP}{NM}=1-\dfrac{OS}{OM}=1-\dfrac{1}{OM}=\dfrac{2}{ON}$
Suy ra $OT=2$
Do $OT=2,OS=1$ và $S,T$ nằm trên $Ox,Oy$ cố định nên cả $S,T$ đều cố định
Do $P$ là giao điểm của đường thẳng qua $S$ song song với $Oy$ và đường thẳng qua $T$ song song với $Ox$ nên $P$ cố định
Vậy $d$ đi qua điểm $P$ cố định
Cuộc đời vốn không công bằng, vì thế hãy tự làm quen với nó.(nói thế thôi)
#8
Đã gửi 06-04-2016 - 00:18
Đặt $\left\{\begin{matrix} b+c-a=x>0\\ c+a-b=y>0\\ a+b-c=z>0 \end{matrix}\right.$
Suy ra $\left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{2}=c\\ \frac{z+x}{2}=b\\ \frac{y+z}{2}=a \end{matrix}\right.$
Khi đó có $A=\frac{2(y+z)}{x}+\frac{9(z+x)}{2y}+\frac{8(x+y)}{z}=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8z}{x})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})$
Áp dụng $AM-GM$ có $A \geq \sqrt{\frac{2y}{x}.\frac{9x}{2y}}+\sqrt{\frac{2z}{x}.\frac{8z}{x}}+\sqrt{\frac{9z}{2y}.\frac{8y}{z}}=3+4+6=13$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2y}{x}=\frac{9x}{2y}\\ \frac{2z}{x}=\frac{8z}{x}\\ \frac{9z}{2y}=\frac{8y}{z} \end{matrix}\right.$
Hay $...$ (tự tìm)
Vậy $...$
Chỗ này phải là (2z/x + 8x/z) chứ
#9
Đã gửi 08-04-2016 - 21:46
#10
Đã gửi 23-02-2017 - 07:13
#11
Đã gửi 05-03-2017 - 13:25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18-3-2016
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT
Câu 1 : (5 điểm)
a) Tính tổng : $A=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}$
Ta có: $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}= 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
Tương tự như vậy A trở thành: A= $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$
$\Leftrightarrow A= 2014+\frac{1}{2}-\frac{1}{2016}$
Vậy A=$\frac{4061231}{2016}$
- trinhnguyen2612 yêu thích
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
#12
Đã gửi 26-02-2018 - 14:10
full đáp án:
https://sea007.viole...try_id/11566888
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 26-02-2018 - 14:27
$\sqrt{MF}$ math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh