Chủ đề này có 4 trả lời

[hthang0030]

Cho 3 số không âm a,b,c thỏa mãn a²+b²+c²=3.Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$

[hthang0030]

Mình đã giải được bài này nhưng cách giải khá cồng kềnh.Hy vọng có bạn trả lời bài viết bằng một lời giải đẹp và ngắn gọn =)))

[Phanbalong]

Bài này mình từng làm là biến đổi tương đương nhân chéo lên đưa về bđt khá quen là $a^2b+b^2c+c^2a-abc\leq 2$, sau đó thì giả sử $b$ max . Bài làm khá lâu rồi nên mình cũng chỉ nhớ hướng , bạn có làm theo kiểu đó không ?

[hthang0030]

Có bạn nhưng ở cuối đặt điều kiện b nằm giữa a,c rồi biến đổi đưa về 1 ẩn t nhưng mình nghĩ cách đấy quá khổ -.- Tại câu này thầy mình cho trong đề thi hsg lớp 9 mà mình k nghĩ nó lại khó đến thế -.- Chắc phải có cách nào dễ hơn chứ nhỉ?

[KietLW9]

 

Cho 3 số không âm a,b,c thỏa mãn a²+b²+c²=3.Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$

 

Giả sử $b=max\left \{ a,b,c \right \}$

Ta luôn có:

$(b-1)^2(b+2)\geqslant 0\Leftrightarrow 3b-b^3\leqslant 2$

Quy đồng rồi rút gọn bất đẳng thức cần chứng minh, ta được: 

$ab^2+bc^2+ca^2+2(a^2+b^2+c^2)\leqslant 8+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 2+abc$

Vì $b=max\left \{ a,b,c \right \}$ nên 

$a(b-a)(b-c)\leqslant 0\Leftrightarrow ab^2+ca^2\leqslant a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant a^2b+bc^2+abc=b(a^2+b^2+c^2)-b^3+abc=3b-b^3+abc\leqslant 2+abc$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1