Chủ đề này có 1 trả lời

[Ego]

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.

Spoiler

Một bài hay :-)

[chanhquocnghiem]

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.

Spoiler

Một bài hay :-)

Xét 2 trường hợp :

1) $n$ có dạng $p^m$ ($m$ nguyên dương) :

   Khi đó, với mọi $k$ nguyên dương và $k\leqslant n-1=p^m-1$, ta có :

   $\dbinom{n}{k}=\dbinom{p^m}{k}=\frac{T}{M}$ với $\left\{\begin{matrix}T=\left ( p^m \right )\left ( p^m-1 \right )\left ( p^m-2 \right )...(p^m-k+1)\\M=k!=1.2.3...k \end{matrix}\right.$

   Gọi $N_1,N_2$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $T$ và $M$ ra thừa số nguyên tố, ta có :

   $N_1=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^m} \right \rceil=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+1$

   $N_2=\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{k}{p^{m-1}} \right \rfloor$

   $\Rightarrow N_1\geqslant N_2+1\Rightarrow \dbinom{p^m}{k}\ \vdots\ p$

 

2) $n$ không có dạng $p^m$ :

  a) $n$ không chia hết cho $p$ :

      Khi đó dễ dàng thấy $\dbinom{n}{1}=n$ không chia hết cho $p$.

  b) $n$ có dạng $q.p^m$ ($m,q$ nguyên dương ; $q\neq 1$ và $q$ không chia hết cho $p$)

      Khi đó ta có :

      $\dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}=\frac{\tau }{\mu }$ với $\left\{\begin{matrix}\tau =(qp^m)(qp^m-1)(qp^m-2)...(p^m+1)\\\mu =\left [ (q-1)p^m \right ]! \end{matrix}\right.$

      Gọi $N_3,N_4$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $\tau$ và $\mu$ ra thừa số nguyên tố, ta có :

   $N_3=\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rceil$

   $N_4=\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rfloor$

   $\Rightarrow N_3=N_4\Rightarrow \dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}$ không chia hết cho $p$

 

Vậy các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng $p^m$ (với $m$ nguyên dương).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-05-2019 - 17:56