Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max $Q=\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyentan1983

nguyentan1983

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

Cho $x, y, z > 0$. Tìm Max $Q=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+zx}+\frac{zx}{z^{2}+zx+xy}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-03-2016 - 23:53


#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Cho $x, y, z > 0$. Tìm Max $Q=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+zx}+\frac{zx}{z^{2}+zx+xy}$

Dự đoán $MaxQ=1$ khi $x=y=z$ nên Ta viết BĐT cần chứng minh lại thành: 

$\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1} \leq 1$

 

Đổi biến $(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})=(a^3,b^3,c^3)$

 

$\Rightarrow abc=1$

 

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$

 

Áp dụng bổ để sau:$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

 

$VT=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z$



#3
nguyentan1983

nguyentan1983

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

Dự đoán $MaxQ=1$ khi $x=y=z$ nên Ta viết BĐT cần chứng minh lại thành: 

$\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1} \leq 1$

 

Đổi biến $(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})=(a^3,b^3,c^3)$

 

$\Rightarrow abc=1$

 

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$

 

Áp dụng bổ để sau:$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

 

$VT=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z$

cam on ban nhe






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh