Cho $x, y, z > 0$. Tìm Max $Q=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+zx}+\frac{zx}{z^{2}+zx+xy}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-03-2016 - 23:53
Cho $x, y, z > 0$. Tìm Max $Q=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+zx}+\frac{zx}{z^{2}+zx+xy}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-03-2016 - 23:53
Cho $x, y, z > 0$. Tìm Max $Q=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+zx}+\frac{zx}{z^{2}+zx+xy}$
Dự đoán $MaxQ=1$ khi $x=y=z$ nên Ta viết BĐT cần chứng minh lại thành:
$\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1} \leq 1$
Đổi biến $(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})=(a^3,b^3,c^3)$
$\Rightarrow abc=1$
BĐT cần chứng minh được viết lại thành:$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$
Áp dụng bổ để sau:$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
$VT=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$
Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z$
Dự đoán $MaxQ=1$ khi $x=y=z$ nên Ta viết BĐT cần chứng minh lại thành:
$\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+1} \leq 1$
Đổi biến $(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})=(a^3,b^3,c^3)$
$\Rightarrow abc=1$
BĐT cần chứng minh được viết lại thành:$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$
Áp dụng bổ để sau:$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
$VT=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$
Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z$
cam on ban nhe
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh