Chủ đề này có 6 trả lời

[Math Master]

Cho $a,b,c > 0; abc=8$. Tìm Min hoặc Max

$\frac{a-2}{a+1} + \frac{b-2}{b+1} + \frac{c-2}{c+1}$

[Element hero Neos]

Cho $a,b,c > 0; abc=8$. Tìm Min hoặc Max

$\frac{a-2}{a+1} + \frac{b-2}{b+1} + \frac{c-2}{c+1}$

Có $A=\sum\frac{a-2}{a+1}=\sum(1-\frac{3}{a+1})=3-\sum\frac{3}{a+1}\leq 3-\frac{27}{\sum a+3}\leq 0$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc=8\\ a=b=c\\ a,b,c>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2$

[Math Master]

Có $A=\sum\frac{a-2}{a+1}=\sum(1-\frac{3}{a+1})=3-\sum\frac{3}{a+1}\leq$ $3-\frac{27}{\sum a+3}\leq 0$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc=8\\ a=b=c\\ a,b,c>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2$

Khúc bôi đen có vấn đề đó anh

[Element hero Neos]

Khúc bôi đen có vấn đề đó anh

Làm gì có khúc nào bôi đen, với cả bài đúng mà, có sai đâu

[Math Master]

 $3-\frac{27}{\sum a+3}\leq 0$

 

Ta có $\frac{27}{\sum a+3} \leq 3 => 3 - \frac{27}{\sum a+3} \geq 0$ , ngược phải không anh , có gì chỉ em với

[royal1534]

Có $A=\sum\frac{a-2}{a+1}=\sum(1-\frac{3}{a+1})=3-\sum\frac{3}{a+1}\leq 3-\frac{27}{\sum a+3}\leq 0$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc=8\\ a=b=c\\ a,b,c>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2$

Bạn làm ngược dấu đoạn cuối rồi !

[KietLW9]

Cho $a,b,c > 0; abc=8$. Tìm Min hoặc Max

$\frac{a-2}{a+1} + \frac{b-2}{b+1} + \frac{c-2}{c+1}$

Ta đi chứng minh: $\frac{a-2}{a+1} + \frac{b-2}{b+1} + \frac{c-2}{c+1}\leqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{a+1-3}{a+1}+\frac{b+1-3}{b+1}+\frac{c+1-3}{c+1}\leqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geqslant 1$

Vì $abc=8$ nên tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $\left\{\begin{matrix}a=\frac{2x}{y} & \\ b=\frac{2y}{z} & \\ c=\frac{2z}{x} & \end{matrix}\right.$

Và ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: $\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\geqslant 1$

Thật vậy, ta có: $\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}=\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1(\text{Q.E.D}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$