Chủ đề này có 4 trả lời

[Math Master]

Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c = 1$

$C/m \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

[PlanBbyFESN]

Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c = 1$

$C/m \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

 

Lâu rồi mới thấy 1 bài BĐT hay:

 

BĐT cần CM tương đương:

 

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}) \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}(a+c)}{b}+\frac{b^{2}(b+a)}{c}+\frac{c^{2}(c+b)}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

Thật vậy, AM-GM:

$\frac{a^{2}(a+c)}{b}+(a+c)b\geq 2a(a+c)$

$\frac{b^{2}(b+a)}{c}+(b+a)c\geq 2b(b+a)$

$\frac{c^{2}(c+b)}{a}+(c+b)a\geq 2c(c+b)$

 

Cộng vế theo vế ta có: $\frac{a^{2}(a+c)}{b}+\frac{b^{2}(b+a)}{c}+\frac{c^{2}(c+b)}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

  (ĐPCM)

....................................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 24-03-2016 - 22:48

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c = 1$

$C/m \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Cách khác, cũng chỉ sử dụng $AM-GM$

Giải;

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Ta nhận thấy $VT$ của BĐT cần C/m có dạng phân thức, $VP$ không có, bây giờ ta tìm cách đánh giá sao cho mất phân thức. Từ đó ta có đánh giá sau

$\frac{1}{b}+9b\geq 6\Leftrightarrow \frac{1}{b}\geq 6-9b$

$\Rightarrow VT\geq a^2(6-9b)+b^2(6-9c)+c^2(6-9a)=6(a^2+b^2+c^2)-9(a^2b+b^2c+c^2a)$

Vậy ta cần C/m $a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

Đến đây ta thấy $VT$ có bậc $2$, $VP$ có bậc $3$ vì vậy để đồng bậc ta thay $1=a+b+c$ vào $VT$
Đpcm $\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Leftrightarrow \sum (a^3+ab^2)\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$

Sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có $a^3+ab^2\geq 2a^2b$. Thực hiện các đánh giá tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ 

[KietLW9]

Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c = 1$

$C/m \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Lời giải. Ta có:

$VT-VP=\frac{c+a}{b}(a-b)^2+\frac{a+b}{c}(b-c)^2+\frac{b+c}{a}(c-a)^2\geqslant 0$

[ChiMiwhh]

Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c = 1$

$C/m \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Ta có bổ đề tổng quát là

$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$