Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
haiyen8a

haiyen8a

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Câu 1: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y\leq z$. CMR:

$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$

Câu 2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1$

CMR: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq \frac{1}{2}$



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Câu2: Bạn dùng bất đẳng cauchy-schwart là ra luôn



#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

1) BĐT chứng minh $\Leftrightarrow \sum (\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}) \ge \frac{21}{2}$ 
Ta có $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \ge 2$ 
Ta sẽ đi chứng minh $\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2} \ge \frac{17}{2}$ 
Ta có $\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2} \ge \frac{1}{2}(\frac{x}{z}+\frac{y}{z})^2$ 
$\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2} \ge \frac{1}{2}(\frac{4z}{x+y})^2$ 
Đặt $a=\frac{z}{x+y} \ge 1$ 
Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2a^2}+8a^2 \ge \frac{17}{2}$ 
Dễ thấy bđt này đúng suy ra đpcm



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Câu 1: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y\leq z$. CMR:

$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})\geq \frac{27}{2}$

Vì $x+y\leqslant z \Rightarrow \frac{(x+y)^2}{z^2}\leqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geqslant \left [ \frac{(x+y)^2}{2} +z^2\right ]\left [ \frac{2}{xy} +\frac{1}{z^2}\right ]\geq \left [ \frac{(x+y)^2}{2} +z^2\right ]\left [ \frac{8}{(x+y)^2} +\frac{1}{z^2}\right ]=5+\frac{8z^2}{(x+y)^2}+\frac{(x+y)^2}{2z^2}=5+(\frac{(x+y)^2}{2z^2}+\frac{z^2}{2(x+y)^2})+\frac{15z^2}{2(x+y)^2}\geqslant \frac{27}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $2x=2y=z$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh